Le nombre à bénir, ici bien tempéré

  Je suis en passe de réaliser mes deux résolutions pour l'année 2018:
- écrire pour de bon Novel Roman, dont 16 chapitres sur 18 ont été publiés;
- publier 33 billets sur Quaternité, de manière à ce que celui du 31 décembre soit le 273^e de Quaternité,  un de mes nombres fétiches (produit des deux Fibos 13 et 21, valeur de l'hébreu arba', "quatre").

  J'avais en tête de consacrer tout ou partie du 273^e billet à une découverte récente d'une propriété de 273, mais je pense que j'aurais mieux à proposer pour cet ultime billet, et je vais m'y atteler aujourd'hui, 30 septembre, 273^e jour de l'année.

  J'étais curieux de lire quelque chose de l'auteur qui signe Sire Cedric, et dont je n'ai pas trouvé le nom réel. Il déclare que son prénom est bien Cédric.
  Ce fut chose faite début août, avec une parution récente en poche, Du feu de l'Enfer.

  La lecture en a été agréable, mais ne m'a pas semblé renouveler un genre mieux exploité par Thilliez ou Chattam.
  Donc il ne va pas être question du contenu, mais de sa forme, en 9 parties de
11-12-10-9-11-11-13-14-15 chapitres, soit 106 chapitres en tout, un des nombres structurant Novel Roman. Tiens, l'héroïne de Sire Cedric se nomme Manon Virgo, à deux lettres près de mes anagrammes (l'un de mes personnages est Manon Revol).
  J'ai d'abord repéré que
11+12+10+9+11 = 11+13+14+15 = 53,
puis que le nombre 11 apparaissait des deux côtés de cette répartition, et qu'on avait donc
11+12+10+9 = 13+14+15 = 42.
  Il saute aux yeux que les nombres concernés sont consécutifs. Je savais que 1+2 = 3, et j'ai donc étudié la question pour voir qu'il s'agissait d'une propriété inhérente à la suite des entiers, qu'on pourrait énoncer ainsi:

Les 2n+1 nombres allant du carré de n inclus au carré de n+1 exclu se répartissent en deux ensembles consécutifs de somme égale, les n+1 premiers nombres et les n suivants.

  C'est aisé à démontrer, mais voyons ce que ça donne
n=1 : 1+2 = 3 = 3
n=2 : 4+5+6 = 7+8 = 15
n=3 : 9+10+11+12 = 13+14+15 = 42
n=4 : 16+17+18+19+20 = 21+22+23+24 = 90
n=5 : 25+26+...+29+30 = 31+32+...+34+35 = 165
n=6 : 36+37+...+41+42 = 43+44+...+47+48 = 273
n=7 : 49+50+...+55+56 = 57+58+...+62+63 = 420
n=8 : 64+65+...+71+72 = 73+74+...+79+80 = 612

  Je n'ai guère imaginé être le premier à avoir vu ça, et effectivement la suite 3, 15, 42, 90, 195, 273,... est présente sur l'OEIS, numéro A059270. J'y repère qu'elle se poursuit par 855, 1155, 1518, 1950, mon année de naissance au 12^e rang.
  Ce qui m'avait d'abord retenu, et fait poursuivre l'investigation, était au 6^e rang 273, un de mes nombres fétiches. C'est notamment comme vu plus haut la valeur de l'hébreu ARBO, arba', "quatre", mais le même mot vocalisé arve'a signifie "je suis carré", et une manière de définir les égalités ci-dessus est que chaque séquence concernée part d'un carré pour aller au nombre précédent le carré suivant.

  Or un autre hasard m'avait conduit en 1995 à une découverte arithmétique offrant un immédiat écho avec
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 (= 42),
10² + 11² + 12² = 13² + 14² (= 365).
  La similitude est assez immédiate pour se passer de commentaires. L'internet était balbutiant à l'époque, et il m'a fallu quelque temps pour trouver cette relation dans un recueil de curiosités mathématiques. Aujourd'hui il suffit de quelques clics pour trouver que ces égalités entre n+1 et n carrés successifs sont régies par la suite A059255 de l'OEIS. Son premier commentaire est

The analog for sums of integers is A059270,

  Il y a quelque peu davantage. Parmi diverses façons de mettre en équation les propriétés de ces suites,  je suis séduit par celle-ci:

Si la somme de n+1 entiers consécutifs égale celle des n entiers suivants, l'entier médian est n(n+1).

  Une formule très analogue apparaît pour les sommes de carrés:

Si la somme de n+1 carrés consécutifs égale celle des n carrés suivants, le carré médian est celui de 2n(n+1).

  Il n'y a qu'un seul cas où un même nombre médian apparaît dans les deux suites, 12 en l'occurrence, au coeur des deux égalités que j'ai découvertes par hasard. Il y a plus surprenant, car le roman de de Sire Cedric compte aussi Prologue et Epilogue en sus des 106 chapitres, soit 108 éléments en tout.
  Ma découverte sur les carrés est liée à la 8^e églogue de Virgile, qui compte 109 vers, mais l'un des vers pourrait être une addition d'un copiste, si bien qu'on aurait pu avoir aussi là 108 éléments.
  Plusieurs des églogues de Virgile font intervenir les chants amébées, compétitions entre bergers s'affrontant en utilisant une forme poétique imposée. La 8^e églogue en est de loin l'exemple le plus complexe, avec une forme de 45 vers répartis en 3 parties de 15 vers. Chaque partie contient 3 strophes de 3-4-5 vers, avec des permutations, chaque strophe étant ponctuée par un vers refrain (R).
  On a d'abord le chant de Damon, dont la première partie est structurée ainsi:
4 vers - R - 3 vers - R - 5 vers - R.
  Puis lui répond le chant d'Alphésibée, dont la première partie est structurée ainsi:
4 vers - R - 3 vers - R - 3 vers - R? - 2 vers - R.
  Peut-être un copiste a-t-il désiré souligner un des vers les plus connus des églogues, à moins que Virgile lui-même ait eu une secrète intention en rompant la correspondance des deux chants. Toujours est-il que j'ai étudié la valeur de ce vers refrain intempestif, 365 selon l'alphabet latin.
Ducite ab urbe domum, mea carmina, ducite Daphnim.
  La césure du vers conduit à
Ducite ab urbe domum, = 169 = 13² 
mea carmina, ducite Daphnim. = 196 = 14²
  Les 4 mots débutant par D ont pour valeur 244, soit 10² + 12², les 4 autres 121 = 11².
  La 3^e strophe normale de 5 vers survenait après 9 vers des deux premières strophe, et donc le vers refrain intempestif était intercalé entre les vers 10-11-12 et 13-14. Ceci intervient dans un poème construit en strophes de 3-4-5 vers, alors que le monde antique vénérait le premier triangle rectangle pythagoricien d'entiers, de côtés 3-4-5, tels que
3² + 4² = 5² (la première relation de la suite A059255).

  Comme par ailleurs,
- la 5^e églogue offre deux chants amébées de 25 vers (5²) dont la seule césure marquante commune est 16+9 (4²+3²),
- les églogues ont été composées juste après la mort de César, lequel venait d'instaurer le calendrier solaire de 365 jours, César parfois identifié au Daphnis du chant d'Alphésibée,
je n'ai pas douté en 1995 d'avoir révélé le sens profond des Bucoliques, ou au moins de la 8^e églogue. J'ai rencontré depuis tant de relations du même ordre, dont certaines ne sont assurément pas intentionnelles, que je me garde maintenant de toute interprétation, d'autant que les circonstances des découvertes des relations sont souvent plus ébouriffantes que les relations elles-mêmes.
  Ainsi, sans être mathématicien, j'ai redécouvert ces suites A059270 et A059255 à partir de textes structurés tous deux par le nombre 108, sans qu'il soit établi que ce nombre ait été essentiel pour Virgile ou Sire Cedric, lesquels n'ont guère de points communs (sinon que Dante a fait de Virgile son guide parmi les cercles de l'enfer).
  Incidemment, je m'étais penché sur la 8^e églogue à cause des 108 marches menant les héros de Rabelais au Temple de la Dive, ce qui faisait paniquer Panurge se demandant si cet escalier conduisait vers l'enfer.

  Les propriétés de l'ensemble des entiers décrites par la suite A059270 m'amènent à une autre constatation personnelle (je rappelle 1950, l'année de ma naissance, au 12^e rang).
  Au 6^e rang il y a donc 273, un nombre qui m'est depuis longtemps essentiel, mais la suite me l'a fait voir comme 6*7*(6+7)/2, évoquant mon jour de naissance, le 6 juillet.
  Ou encore, puisque 546 double de 273 m'est également important pour des raisons spécifiques,
546 = 6*7*(6+7).

  Une autre propriété relie les nombres 365 et 273 hors de toute logique arithmétique:
TROIS CENT SOIXANTE CINQ = 273 (gématron),
en 21 lettres, soit une moyenne exacte de 13 par lettre.
  Malgré la répartition bizarre des nombres de jours dans les mois de l'année, 273 correspond exactement aux 8 premiers mois d'une année normale de 365 jours.

  Jadis, j'ai feint d'y voir un rapport avec une des plus célèbres oeuvres musicales du siècle dernier, 4' 33" de John Cage. Sa partition indique comme instrumentation "Pour n'importe quel instrument ou ensemble d'instruments", et comprend 3 mouvements totalisant 4' 33", soit 273 secondes.

  Je reviens à la suite A059270 dont les termes 0 à 6, (0)-3-15-42-90-165-273-... peuvent aussi se lire
(1*0)-3*1-5*3-7*6-9*10-11*15-13*21-...,
soit à chaque rang l'entier impair 2n+1 multiplié par le triangulaire de n.
  Là, l'OEIS m'a appris quelque chose, à savoir que l'ensemble des entiers peut, de même que A059270  le découpe en segments consécutifs impairs, être découpé en segments consécutifs pairs offrant la propriété suivante:

La somme des triangulaires de n nombres est égale à la somme des triangulaires des n-2 nombres suivants.

  C'est la suite A222176, et les premiers termes en sont
T1+T2+T3 = T4 = 10
T5+T6+T7+T8 = T9+T10 = 100
T11+T12+T13+T14+T15 = T16+T17+T18 = 460

  Pour ce 266^e billet de Quaternité, j'ai choisi un titre de valeur 266 inspiré par Das wohltemperirte Clavier, de Bach, ensemble de 24 prélude-fugue ans toutes les tonalités. Que ceci ait été intentionnel ou non, ce titre a 24 lettres, de valeur 266 se répartissant également en 133 pour les 12 premières lettres et 133 pour les 12 dernières, selon l'alphabet Schwenter de 24 lettres (l'alphabet latin + W).
  Donc mon titre a 28 lettres de valeur 266, réparties en 133 pour les 4 premiers mots, en 14 lettres, et 133 pour les 3 derniers mots, en 14 lettres idem. Les 7 mots ont 1-2-3-4-5-6-7 lettres.