4/18, jour de la tomê

à JohannS & MarkZ

  Le précédent billet a ouvert de multiples pistes, en lien avec le mot grec tomê, τομἠ, "section", désignation par les anciens Grecs de la section d'or, et dont l'initiale τ, tau, a d'abord été le symbole mathématique du nombre d'or, avant d'être supplanté par φ, phi (initiale de Phidias).
  Certaines des nouvelles pistes sont ouvertes par la valeur du mot en grec, 418, d'autres par celle de son initiale, τ = 300, et je vais juste m'en tenir à une relation qui m'est venue entre deux "300" chez Bach, l'un vu en 2004, l'autre en 2006, mais il m'a fallu 18 ans pour enfin faire le lien entre les deux.

  J'ai repris le cas de 2004 dans le précédent billet, et je le reprends avec un tableau clarificateur. S'il vient l'idée de chercher parmi les 48 ensembles Prélude-Fugue des deux cahiers du Clavier bien tempéré (CBT) ceux dont le nombre de mesures total se répartit idéalement selon la section d'or en ceux du prélude et de la fugue, on en trouve 3, 2 qui sont immédiats dans toutes les options, et c'est dans chaque cas l'ensemble 14 de chaque recueil.
  La plupart des musicologues admettent que Bach était obsédé par le nombre 14, somme des valeurs des 4 lettres de son nom,
B A C H = 2 1 3 8 = 14,
lettres qui sont aussi des notes dans le système musical allemand.

  L'autre ensemble est le numéro 24 du premier cahier, dont le prélude est à reprises, et qui n'est donc valide qu'en considérant la musique écrite. Si l'on considère l'ensemble des deux cahiers comme un tout, "les 48" comme les appellent les musiciens, les 3 ensembles ont les rangs 14-24-38, termes successifs d'une suite additive qui se poursuit par 62-100, or le nombre moyen de mesures des 3 ensembles est 100, idéalement réparti en 38-62.
 

  Ainsi les nombres moyens de mesures 38-62-100 sont le prolongement des rangs 14-24-38 (d'autres approfondissements ici)...

  Après cette vision verticale des deux cahiers, je suis passé à une vision horizontale, où j'ai fait la somme des nombres de mesures dans chaque tonalité, encore sans tenir compte des reprises des préludes (soulignés ci-dessous), et cherché s'il apparaissait des couples en rapport d'or.
  Il y a 4 couples, et voici les 8 tonalités concernées, avec leurs rangs, les nombres de mesures des préludes et fugues dans chaque cahier, la somme des 4 nombres, la section d'or arrondie, et enfin le nom allemand de la tonalité.
 

  On y retrouve les tonalités 14 et 24 déjà concernées par les harmonies dorées prélude-fugue, ici en rapport avec les tonalités 4 et 1.
  Les deux autres couples sont aux rangs 22-20, 283-175 mesures, tonalités b-a, et aux rangs 23-2, 203-125 mesures, tonalités H-c. En considérant ces couples ensemble, le rapport doré devient 300-486, continuation des 114-186-300 des diptyques prélude-fugue en 300-486-786, rappelant fort ce qui se passait pour leurs valeurs moyennes 38-62-100, continuation de leurs rangs 14-24-38.
  J'avais pourtant exposé clairement ce rapport bachien 300/486 en 2014, en relation avec d'autres relations équivalentes à 50/81, mais je n'avais pas pensé alors au cas 114-186.

  J'avais noté en rouge les arrondis des nombres en bleu de mesures multipliés par φ, mais le symbole équivalent τ aurait tout aussi bien pu être employé, τ = 300, pour cette section d'or 300 des tonalités 22-23.
 
  J'avais souligné que les 4 tonalités en cause étaient b-a-c-H, et que la probabilité de tirer 4 tonalités BACH majeures ou mineurs parmi les 24 étaient d'une chance sur 664 (soit 8.6.4.2 cas favorables parmi 24.23.22.21 possibilités de tirage).
  Parmi les 384 cas favorables possibles, "Bach" est évidemment le plus parlant, "BACH" et "bach" seraient sympas, et "bacH" serait peut-être le plus significatif ensuite. Le fait que les tonalités de poids faible a-c aient leurs préludes à reprises peut orienter vers ce point, et ainsi découvrir que parmi les 8 tonalités celles à reprises sont précisément "B-a-c-h".

  En 2006 j'écrivais:

  Une petite harmonie numérique apparaît entre ces deux paires, car le rapport 175/125 se simplifie en 7/5, deux nombres évocateurs en musique : la gamme chromatique – sur laquelle est construite le Clavier bien tempéré – compte 7 notes naturelles et 5 notes altérées.

  J'avais manqué d'établir alors le rapport avec les préludes-fugues formant la série 114-186-300, mais j'avais aussi manqué de voir que ces tonalités forment la série 125-175-300, multiple de la série "première" 5-7-12, or le rapport 300-486 avec les tonalités de poids fort se simplifie en 50-81, termes de cette même série:
2-5-7-12-19-31-50-81-..., fort intéressante pour ses termes suivants que j'ai étudiés ailleurs:
131 - 212 - 343 - 555 - 898
soit un réarrangement des 10 premiers termes de la suite de Fibonacci:
1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89
et quelque chose d'analogue se passait avec l'autre suite additive essentielle, la suite de Lucas.

  L'arithmétique des suites additives est passionnante. Les suites "premières", soit dont deux termes consécutifs sont premiers entre eux, se présentent par paires conjuguées.
  On sait qu'un terme de la suite de Lucas correspond à la somme d'un terme de la suite de Fibo et du terme situé 2 rangs au-dessus. Que se passe-t-il si on effectue la même opération sur la suite de Lucas? on obtient la suite de Fibonacci multipliée par 5.
  C'est une loi générale, et si l'on prend n'importe quel suite première, l'opération mènera soit à la suite conjuguée, soit à 5 fois la suite conjuguée.
  Qu'en est-il des suites présentes dans le CBT? Les 24-40 mesures du PF1-14 correspondent à 8 fois la suite de Fibo, la suite conjuguée est celle de Lucas, et les 47-76 mesures de PF1-24 sont des termes de cette suite.
  Les 43-70 mesures du PF2-14 appartiennent à la suite
5-11-16-27-43-70-113-183  (OEIS 22136)
  Les premiers termes de la suite conjuguée sont
21 (5+16) -38 (11+27)  (OEIS 22134)
21-38, ou BA-CH !! ! !!! !!!!!!!

  J'avais consacré sur mon site une page déjà copieuse à ces nombres, présents notamment multiplement dans le CBT, avec par exemple la fugue 21 dont le sujet a 38 notes, en B comme Bach, et je l'ai reprise agrémentée de nouveautés sur Quaternité en 2019.
  Et qu'en est-il de la suite calculée à partir des moyennes des 3 diptyques prélude-fugue, 38-62-100? la suite première est donc
2-5-7-12-19-31-50-81-..., (OEIS 1060)
et la conjuguée
9-17-26-43-69-112-181-...; (OEIS 22098)
et en découvrant cela je ressentis quelque chose d'analogue à ce que Crowley dit ressentir en découvrant la Villa Caldarazzo.
  La raison n'en est pas bachienne, mais je commence par les échos chez Bach.
  Les tonalités 125-175-203-283 donnant le rapport 300/486 ou 50/81 ont les rangs 2-20-22-23.
  Celles donnant par leurs rangs le rapport 7/12 ont les rangs 14-24, et les poids forts dans ces équilibres correspondent aux rangs 22-23-24, somme 69 (en tout 105 pour les 6 tonalités, somme des nombres de 1 à 14).
  Un peu léger, mais remettant à l'honneur les tonalités 14-24, or j'avais étudié ici de prodigieuses relations dans les 11 pièces 14 à 24, P1 comme F1, P2 et F2. Les 11 préludes P2 révélaient un équilibre 224/362, équivalent à 112/181.

  A propos du P2-24, il existe deux manuscrits d'époque, l'un de la main de Bach avec les 66 mesures qu'on trouve dans toutes les éditions actuelles du CBT, l'autre de la main de son gendre Altnikol avec exactement la même musique, mais les blanches remplacées par des noires, les noires par des croches, etc., la pièce comptant ainsi 33 mesures. Certains arithmologues utilisent cette version pour appuyer leurs thèses...
  Les manuscrits de l'Art de la fugue offrent aussi pareilles divergences de notation, et ceci pourrait donner à penser que Bach se souciait peu du nombre de mesures de ses compositions. Mais, à de rares occasions, Bach a noté à la fin d'un morceau son nombre de mesures, et dans plusieurs cas ce nombre semble significatif...

  Mais les questions qu'on se pose aujourd'hui sur les intentions de Bach n'auront probablement jamais de réponses, or mon ébahissement devant la découverte de la suite conjuguée de 2-5-7-12... touche à une réalisation tout à fait actuelle, dont l'auteur est vivant et pourrait le cas échéant confirmer ou non que mon analyse répond à ses intentions.
  L'un des objets littéraires les plus curieux (et des plus ennuyeux) de ce siècle est probablement Only Revolutions (2006), de Mark Z Danielewski, composé de 360 pages polychromes, chaque page contenant 360 mots répartis en 4 secteurs de chacun 90 mots. Il faut retourner le livre pour lire deux des secteurs. Les deux secteurs principaux content la même histoire, vue par ses deux protagonistes Sam et Hailey. Cette histoire est découpée en 45 sections de 8 pages (dans l'un des sens de lecture), chaque section débutant par une lettrine, composant un message à partir des mots SAM AND HAILEY.
  Une première curiosité est que
SAM AND HAILEY = 33+19+60 = 112 = DANIELEWSKI
  L'acrostiche, formé de 3 fois SAM AND HAILEY AND pour l'un des récits, et de 3 fois HAILEY AND SAM AND pour l'autre, compte dans les deux cas 12 mots et 45 lettres de somme 393, et le Gématron révèle une césure d'or parfaite après 7 mots et 27 lettres
SAM AND HAILEY AND SAM AND HAILEY = 243
AND SAM AND HAILEY AND = 150
  Ceci est permis par une composition à partir de 2 briques dorées:
AND-AND-AND = 57, en 3 mots;
SAM-HAILEY = 97, en 2 mots.
  La "suite du lapin" (OEIS 5614) permet d'avoir successivement:
3-2-5-7-12 mots,
57-93-150-243-393 pour les gématries correspondantes, ce qui correspond à 3 fois
19-31-50-81-131, soit le prolongement de
3-2-5-7-12 (ou 3 est le terme de rang 0 de la suite OEIS 1060.

  Par ailleurs, si on ajoute nombre de mots et gématrie correspondante, par exemple 3+57=60, on obtient
60-95-155-250-405, soit 5 fois
12-19-31-50-81, toujours la suite OEIS 1060, et ceci est dû à une loi générale valable pour toutes les suites additives:
5 A(n) = A(n-4) + 3 A(n+1).

  Incidemment, cette suite a été nommée "suite évangélique" par un certain Georges Arnoux, dans Musique Platonicienne: Ame du monde (1960). Ce pourrait être la suite "selon Lucas", car Arnoux la définissait comme l'addition de la suite de Fibo débutant par 1-2-3 à celle de Lucas débutant par 1-3-4; ça me semble assez fumeux, mais ça n'a pas empêché une compositrice célèbre, Sofia Goubaïdoulina, de l' utiliser dans son oratorio Alleluia (1990).

  Je n'ai pas trouvé de précisions sur cette utilisation, mais j'en ai trouvé sur d'autres oeuvres, avec l'emploi courant de diverses suites additives, j'aurai sans doute à y revenir. En écho au précédent billet, j'ai remarqué cette mesure de Concordance superposant en un même temps un triolet, 4 doubles croches, et un quintuplet, 3-4-5...

  Ainsi, cet acrostiche constitue de trois manières ce qu'on peut appeler une "quine", 5 nombres consécutifs d'une suite additive, la "suite évangélique" en l'occurrence.
   Or la suite conjuguée gouverne le nom complet de l'auteur MARK Z DANIELEWSKI, formant lui-même une quine,
  26 = Z;
  43 = MARK;
  69 = MARK Z;
  112 = DANIELEWSKI;
  181 = MARK Z DANIELEWSKI.
 
  En fait, je viens de citer en partie mot pour mot ce billet de 2014, où j'avais déjà vu que les quines du nom de l'auteur et de l'acrostiche appartenaient à des suites conjuguées. Je l'avais oublié le 13 avril lorsque j'ai recalculé cette conjugaison, que j'avais déjà trouvée vertigineuse en 2014.
  Mais je n'avais pas vu en 2014 que les mots suivaient également cette suite évangélique, en tout cas je ne l'avais pas énoncé clairement, et je l'aurais certainement fait si j'avais perçu que les quines étaient dans le prolongement l'une de l'autre, et je suis certain de n'avoir pas eu la curiosité d'additionner nombres de mots et gématries pour découvrir cette autre façon d' "évangéliser"...

  J'observais aussi en 2014 que les deux acrostiches SAM AND HAILEY en sens inverse m'évoquaient l'ADN, DNA en anglais, AND à l'envers, le DNA dont les deux brins sont appelés 5'-3' et (and) 3'-5', ce que je rapprochais de la naissance de Danielewski, un 5 mars (5/3 ou 3/5 chez lui)..
 

  C'est évidemment plus significatif si la quine de l'acrostiche est triple.

  Revenir à ce cas me fait prendre conscience que MARK Z DANIELEWSKI peut se transformer en
SAM AND REILEI  +  KWZ,
par exemple, pour qu'il reste les lettres en sus KWZ significatives pour un Juif, dont le seuil s'orne en principe d'une mezouza, où le tétragramme YHWH est codé KWZW (les lettres hébraïques décalées d'une unité).
  Justement, il m'a semblé que la fameuse Maison des feuilles, son bestseller, faisait allusion à la Maison de YHWH, le Temple de Salomon, et que ses 20 coudées de 50 cm étaient inspirées par la Quine des bâtisseurs, fantaisie hexagonale de 5 mesures dorées prétendument utilisées au Moyen-âge, que MZD a pu connaître lors de son long séjour en France.
  Je m'étais étonné ici que la longueur de la maison varie entre 393,75 et 394 pouces, alors que l'acrostiche de Only Revolutions a pour valeur 393, à partir des briques 57 et 93, or c'est une recherche en 2007 sur le nom .
GEORGE BRETZLEE = 57 93,
avatar de Perec auquel il attribue un roman imaginaire, que j'étais tombé via un site répertoriant les livres fictifs sur l'auteur imaginaire Aristides Quine, dont l'ouvrage Concatenating Corbusier était mentionné par la note 150 de House of Leaves (57+93=150).
  Le Corbusier a imaginé le Modulor, double série de mesures dorées dont celles couramment usitées forment deux quines,
la série Rouge, 27-43-70-113-183 cm, et
la série Bleue, doublant ces valeurs, 54-86-140-226-366 cm,
cette dernière étant des approximations de termes Fibos exprimés en pouces, 21-34-55-89-144.
  J'observais ici que les 5 nombres de la série Rouge étaient fort proches de la "quine Danielewski", 26-43-69-112-181.
      
  Un personnage de Only Revolutions se nomme VIA***ONACCI, les *** changeant à chaque occurrence. Difficile de ne pas penser à Fibonacci, d'autant qu'une occurrence est VIABIBONACCI.

Note: La consultation de mon billet 46665 m'a rappelé que la seule allusion directe au nombre d'or dans le texte de House of Leaves était la note 382, chapitre 17, à propos de la spirale du nautile. Ce n'est qu'aujourd'hui, 4/18, que je m'avise que .382 est la section d'or de la tomê, .618 comme l'écrivent les anglo-saxons. Ci-dessous un tableau issu du Cahier de Boscodon 4, détaillant les correspondances de la "Quine des bâtisseurs":

  C'est encore difficile à considérer comme un hasard.

  J'avais remarqué dans le billet précité de 2014 que l'acrostiche en 45 lettres
SAM AND HAILEY AND SAM AND HAILEY = 243
AND SAM AND HAILEY AND = 150
était doublé dans l'autre lecture par l'acrostiche débutant par HAILEY AND SAM, gématriquement équivalent, le total livrant donc le rapport 486/300, le même que les tonalités bH/ac, 486/300.
  Puisque je devais savoir inconsciemment que j'avais déjà établi la relation entre les suites 12-19-31-50-81 et 26-43-69-112-181, peut-être mon émerveillement du 13/4 dernier vient-il de ce que je venais d'établir la quine formée par les préludes-fugues des tonalités 14-24 (ou fis-h) du CBT, 114-186-300, et les tonalités complètes ac-bH, 300-486-786. Leurs quines seraient ainsi identiques, avec pour pivot central 300, valeur du tau de tomê.
  Peut-être avais-je encore conscience que ces suites se déduisaient par une même formule quinaire des suites de Fibo et Lucas gouvernant les rapports prélude-fugue du premier cahier,
5A(n) + 5A(n) + A(n-5) ou 10S_n+5 + S_n
  Et peut-être pressentais-je ce qui était présent en filigrane en 2014: Bach "signait" la relation 300-486 par les tonalités b-a-c-H, comme MARK Z - DANIELEWSKI (69-112, termes 7-8 de la suite conjuguée à la suite évangélique) "signait" son acrostiche offrant directement les multiples des termes 7-8 de la suite évangélique.
  Et les 8 tonalités complètes en rapport d'or sont en cascade, formant aussi une quine, mais c'est une autre histoire qui a connu plusieurs suites, dernièrement avec Bachissimo.

  Dans House of Leaves, Danielewski fait intervenir Douglas Hofstadter:

  The way you handled the Holloway expedition, reminded me of Bach’s Little Harmonic Labyrinth. Some of the thematic modulations, I mean.
  La façon dont vous avez conduit l'expédition Holloway, ça m'a rappelé le Petit Labyrinthe harmonique de Bach. Enfin, certaines des modulations thématiques.

  Ce labyrinthe est une pièce pour orgue proche de la sérialité, dont la paternité est discutée, analysée dans Gödel, Escher, Bach.
  En 1995, j'envisageais de rassembler mes découvertes dans un livre intitulé Virgile, Rabelais, Bach... Il ne m'était pas indifférent que, selon l'alphabet latin que j'utilisais alors systématiquement,
VIRGILE  RABELAIS  BACH = 78  64  14,
avec 14+64 = 78, mais je n'y pensais pas en tant que suite additive, car ce n'est que fin 2001 que je me suis intéressé au nombre d'or et aux suites additives.

  Hofstadter cite aussi un livre fictif dans son oeuvre,

Gebstadter, Egbert B., Copper, Silver, Gold: an Indestructible Metallic Alloy.

 Il faut comprendre que les initiales GEB de l'auteur sont celles du titre de HOFstadter, par ailleurs devenu GEBstadter.
  Les initiales HOL de House of Leaves jouent de même un rôle dans le livre, et HOLloway pourrait en être un exemple.
  Mais ce 16 avril je prends conscience que, par leurs rangs, les initiales B E G correspondent aux premiers termes de la "suite évangélique", 2 5 7...
  I beg the question (je soulève la question): est-ce une vérité d'évangile?

Note: Gef me signale que "quine" a par ailleurs un sens informatique, un quine est un programme informatique qui imprime son propre code source. Le nom vient du logicien américain W. V. Quine qui a étudié en profondeur l'autoréférence indirecte, et c'est précisément Hofstadter qui a choisi ce nom dans GEB.
Tiens, le nom complet du logicien a pour valeur
Willard Van Orman Quine = 243, et je rappelle que c'est la note 150 de HOL qui signale Aristides Quine.
D'une certaine façon, une paire de suites additives conjuguées se génère également elle-même, mais au quintuple!

  Aux termes suivant 2-5-7 ou B-E-G, 12-19, correspondent les lettres L-S, ce qui m'est aussitôt évocateur. La PAIRE LS est en effet un générateur de LA PRISE de Constantinople de Ricardou, avec peut-être au départ les Lieux Saints visés par la croisade, ensuite par exemple la Légion Solaire en quête de la ville Silab Lee sur Vénus, les cigarettes Lucky Strike....
  Erica Freiberg m'a confié qu'entre elle et Jean ces lettres signifiaient d'abord Le Secret.

  M'intéresser aux lettres BEGLS me fait voir que leur valeur 45 est le nombre de lettres de l'acrostiche SAM AND HAILEY, ainsi, à partir des briques
AND AND AND = 57, en 3 mots, 9 lettres, présente 2 fois,
SAM HAILEY = 93, en 2 mots, 9 lettres, présente 3 fois,
on peut construire, par
les mots, les 5 termes 3-2-5-7-12, de rangs 0 à 4,
les valeurs, les multiples des 5 termes de rangs 5 à 9,
les sommes des mots et valeurs, les multiples des 5 termes de rangs 4 à 8,
et le nombre des lettres est la somme des 5 termes de rangs 1 à 5.

  Et, toujours, les briques Z et MARK permettent de former les 5 termes de rangs 5 à 9 de la suite conjuguée.

  En fait, en respectant l'ordre des mots dans l'acrostiche, le premier équilibre doré n'apparaît que pour les 12 mots et 45 lettres effectifs. Il peut se poursuivre avec 19 mots, puis 31:
SAM AND HAILEY AND SAM AND HAILEY = 243
AND SAM AND HAILEY AND  = 150
SAM AND HAILEY AND SAM AND HAILEY = 243
AND SAM AND HAILEY AND SAM AND HAILEY AND SAM AND HAILEY = 393
  Mais ça s'arrête là, alors qu'en partant des briques définies plus haut il n'y a aucune limite.

  Ce matin, 17 avril, m'est venu qu'un célèbre acrostiche est celui du "plus beau livre du monde", Hypnerotomachia Poliphili, publié en 1499 à Venise, traduit en français en 1546, Le songe de Poliphile.
  Les lettrines de ses 38 chapitres délivrent l'acrostiche
POLIAM FRATER FRANCISCVS COLVMNA PERAMAVIT
  J'ai évoqué le cas ici, remarquant que la division de l'ouvrage en deux livres de 24 et 14 chapitres divisait l'acrostiche en
POLIAM FRATER FRANCISCVS CO = 252 = 12 x 21
LVMNA PERAMAVIT = 156 = 12 x 13
13 et 21 étant les termes 7-8 de la suite de Fibo.

  Aujourd'hui je souligne que 24 et 14 sont les doubles de 12 et 7, termes "évangéliques" (et les tonalités fis-h du CBT). L'auteur présumé Franciscus Columna, François Colonne (!), était un moine.

  J'étudiais parallèlement l'acrostiche de
THE GREEK COFFIN MYSTERY,
BY ELLERY QUEEN,
en deux "livres" de 21 et 13 chapitres dont les titres des chapitres alignent ces initiales.
  Les 9 "Mysteries" de Queen totalisent 233 chapitres, toujours Fibo,
  J'avais envisagé en 2001 une possibilité de partage 89-144, donnée ici, mais le seul autre Mystery dont la structure m'avait retenu était The French Powder Mystery (1930), en 5 "épisodes" de 12-7-5-12-2 chapitres, tous des nombres de la suite que j'ignorais alors être "évangélique". Une quine de Queen?
  Le roman débute par la découverte d'un cadavre dans la vitrine d'un grand magasin de la 5^e avenue, magasin agencé par l'architecte français Paul Lavery. Difficile de ne pas penser à Paul Valéry, préfacier du Nombre d'or de Ghyka, où celui-ci citait son vers "Filles des nombres d'or" du Cantique des colonnes. A se demander s'il y aurait un rapport obligé entre nombre d'or et acrostiches, textes en colonne (je repense à l'acrostiche du sonnet de Ricardou).


  J'ai laissé de côté un développement sur les 125-175 mesures des tonalités  c-a, dont le rapport 5/7 appartient à la suite "évangélique" OEIS 1060.
  L'ajout des termes de rangs n et n+2 conduit donc à la suite conjuguée OEIS 22098, 5 fois OEIS 1060, dont un terme est 212, qui devient donc 1060...
  Réitérer l'opération conduit donc à 5 fois la suite conjuguée OEIS 22098, et une autre itération à 25 fois OEIS 1060, où on trouvera donc 125 et 175...
  Un malin, ce Bach...


  Enfin, voici les deux pièces de Goubaïdoulina qui seraient basées sur la suite évangélique (la seconde avec choeurs). J'entends ainsi dans la première, à partir du temps 1:40, des crescendos successifs de 5-7-12-19 notes:

et le début du Petit Labyrinthe harmonique (BWV 591), dans 5 tempéraments différents (une quine!),

mais je ne peux que conseiller d'écouter plutôt le CBT, dont l'origine bachienne n'est pas mise en doute...

et Virgile est agile, mais Théocrite émérite

à Virgile & Théocrite

  L'antépénultième billet revenait sur les astéries, textes composés à partir des nombres étoilés, déjà étudiés dans Une étoile est née.
  Je signalais donc m'être réveillé le 6 mars avec une idée en tête:

Pour tout nombre étoilé E, il existe au moins un facteur K, tel que E * K - (K-1) soit un autre nombre étoilé.

   Ce pourrait être la 121^e conjecture de Schulz,
  L'étude de ces nombres E * K - (K-1) semble indiquer que la conjecture se vérifie, avec certaines régularités qui ne m'ont cependant pas permis d'énoncer une loi générale. Cette étude m'a aussi montré que pas mal de carrés apparaissent dans les résultats, et j'ai exploré cette voie, qui m'a entraîné vers une autre conjecture:

Pour tout nombre étoilé E, il existe au moins un facteur K, tel que E * K - (K-1) soit un nombre carré.

  Elle semble encore se vérifier, et, pour les 14 premiers nombres étoilés, les premiers K sont 1, 2, 8, 4, 3, 2, 12, 5, 7, 22, 12, 10, 3, 22. Il semble aussi y avoir toujours plusieurs K pour chaque E, mais je ne décèle pas de régularité qui permettrait d'énoncer une loi, même dans le cas d'un seul E.

  Le 7 avril, le fait que le 5^e nombre étoilé soit un carré, 121, m'a fait me demander s'il en existait d'autres, hormis le trivial 1 initial. Quelques lignes de programme m'ont fait découvrir que le 45^e nombre étoilé, 11881, est le carré de 109. Disposant maintenant de 3 termes, je les ai soumis à l'OEIS, qui m'a illico appris qu'il existait effectivement une suite logique des nombres étoilés qui sont aussi des carrés, A6061, où l'on trouvera diverses formules de calcul.
  A diverses reprises, les numéros de suites OEIS me sont apparus significatifs, et je remarque ici que, 1 et 121 étant les premiers termes de la suite 6061, les seuls deux nombres tels que leur somme soit 121 et leur différence 1 sont 60 et 61.
  Par ailleurs, un nombre étoilé peut se calculer à partir du nombre hexagonal centré H de même rang, en y ajoutant H-1, ainsi 121 = 61+60. Voici par exemple les nombres étoilés de rangs 4-5-6:
 

  L'OEIS signale une propriété qui m'est significative

A007667 = 3*square star numbers (A006061) + 2.

ce qui signifie qu'un terme de la suite 7667 est le même que 3 fois le terme de même rang de cette suite 6061, plus 2.
  A7667 liste les nombres qui sont à la fois la somme de deux carrés consécutifs, et celle de trois carrés consécutifs. J'ai découvert le premier terme significatif de cette suite, 365, dans des circonstances mémorables. C'est en fait le second terme, le premier, 5, étant trivial car faisant intervenir 0:
5 = 1² + 2² = 0² + 1² + 2²

  Je ne me souviens plus de la date exacte, mais en 1995 j'étais dans le train 5050 entre Lyon et Paris, seul dans un compartiment, étudiant l'églogue 8 de Virgile.
  C'est dans cette églogue paire qu'est magnifié le chant amébée intervenant dans les églogues impaires. Il s'agirait d'une compétition entre bergers improvisant sur une même structure métrique, mais évidemment c'est toujours Virgile qui mène le jeu et qui l'arbitre, le cas échant.
  Ici, il n'y a pas d'arbitrage, et Damon et Alphésibée se succèdent pour un chant complexe en 3 parties, chaque partie comptant 3 strophes de 3-4-5 vers, avec des permutations, chaque strophe étant ponctuée par un vers refrain.
  Soit en tout 45 vers, mais il y a une anomalie dans le chant d'Alphésibée qui offre un vers refrain supplémentaire, dans la 3^e strophe de la 1^ère partie. J'étais à l'époque familier de la gématrie latine (selon l'alphabet latin de 23 lettres) et je m'aperçus que ce vers de valeur 365
Ducite ab urbe domum, mea carmina, ducite Daphnim.
"Amène de la ville à ma maison, mon chant, amène Daphnis."
se répartissait selon la césure en
Ducite ab urbe domum, = 169 = 13² 
mea carmina, ducite Daphnim. = 196 = 14²
  Les 4 mots débutant par D ont pour valeur 244, soit 10² + 12², les 4 autres 121 = 11².

  La valeur 365 de ce vers était évocatrice, car Virgile admirait Jules César, et divers exégètes supposaient que le Daphnis de diverses églogues était une allégorie de César, lequel avait mis fin à l'incongruité du calendrier traditionnel en instituant l'année solaire de 365 jours. Je découvrais donc que ce nombre admettait ce double partage en carrés consécutifs,
365 = 10² + 11² + 12² = 13² + 14²
ceci grâce au vers refrain d'un chant composé de strophes de 3-4-5 vers, alors que le monde antique vénérait le premier triangle rectangle pythagoricien d'entiers, de côtés 3-4-5, tels que
3² + 4² = 5²

  La 1^ère partie du chant d'Alphésibée aurait en principe dû avoir la même structure que celle du chant de Damon, soit 1 strophe de 4 vers, 1 vers refrain, 1 strophe de 3 vers, 1 vers refrain, 1 strophe de 5 vers, 1 vers refrain, mais le vers refrain supplémentaire découpe la 3^e strophe en 3-2 vers, ainsi ce vers refrain intempestif est intercalé entre les vers 10-11-12 et 13-14 de la strophe, alors que ce vers peut se décomposer de deux manières en la somme des carrés de 10-11-12 et celle des carrés de 13-14.

  Ceci m'avait paru péremptoire à l'époque, d'autant que d'autres éléments pouvaient accréditer une intentionnalité originelle.
  Lorsque JiBé Pouy m'a demandé d'écrire un roman pour sa nouvelle collection, Pierre de Gondol, animant la plus petite librairie de Paris, Douze maîtres au carré, il m'a semblé que ce sujet s'imposait, vu la quinte de carrés centrée sur celui de 12, mais j'étais bien plus circonspect et, si Lapnus, le découvreur des relations virgiliennes, était persuadé d'avoir trouvé l'ultime vérité, si les latinistes auxquels il l'avait soumise le prenaient pour un fou, Gondol avait une autre approche et pensait que le sujet était à approfondir, quelles qu'aient été les intentions de Virgile.
  Entretemps, j'avais appris dans le Dictionnaire Penguin des nombres curieux que la relation que j'avais découverte grâce à Virgile était connue, et qu'il existait une formule permettant de trouver d'autres nombres avec la même propriété. Le cas suivant était
35645 = 108² + 109² + 110² = 133² + 134²
et il m'était significatif, car l'églogue 8 de Virgile a selon les éditions 108, 109, ou 110 vers, selon que l'on respecte le texte tel qu'il nous est parvenu, que l'on supprime le vers intempestif du chant d'Alphésibée, considéré comme une interpolation, ou que l'on en ajoute un à la position correspondante du chant de Damon.

  J'ai déjà parlé de tout ceci sur Quaternité, excepté peut-être de ce dernier point, et c'est celui-ci qui me fait revenir à l'affaire, car le carré de 109, 11881, est aussi le 45^e nombre étoilé, or
- 45 est la valeur de CAESAR, et le nombre de vers "normal" des deux chants de la 8^e églogue;
- les Romains ont vu comme un signe l'apparition d'une étoile dans le ciel, Caesaris astrum (étoile de César), au mois de juillet suivant la mort de César, son mois de naissance précisément, Quintilis, devenu Iulius pour l'honorer; Virgile cite ce prodige dans la 9^e églogue.
 

  Je projetais depuis quelque temps de consacrer un billet à un détail de Sous les pans du bizarre, auquel j'avais consacré cette page de mon ancien site, loin de me satisfaire aujourd'hui.
  J'ai écrit le premier jet du roman rapidement, car Pouy pensait qu'il pourrait paraître fin 1999. Commencé début juillet, ce premier jet a été achevé le 7 septembre.
  Le nom de l'exégète acharné, Tom Lapnus, m'avait rappelé Ted Lapidus, et une publicité exaspérante, Ted Lapidus, parlez-nous de votre eau de toilette..., ce qui m'avait conduit à imaginer un poème que Tom Lapnus aurait publié à compte d'auteur, l'ode Toi l'été.
  J'ignorais totalement que Lapidus se targuait d'être poète, et cette vidéo le montre réciter son poème Les interstices:

Il y a, entre nous, de petits interstices,
minuscules espaces où nos regards se glissent,
où les silences disent ce qu'on ne dit jamais,
et où les sensations vont plus loin que les faits.

  Lapidus envisageait de publier un recueil de 700 pages...
  Voici l'ode Toi l'été de Lapnus telle qu'elle se présentait dans le premier jet:

Toi l’été tu es et seras
Rusée était ta loi, t’es
            Seul
Afin d’emprunter
La faim des printemps

  C'en était du moins le début, mais la suite était hypothétique. Gondol assurait avoir percé le mystère de sa composition, mais ne le révélait pas. Il s'agit de la contrainte dite "saussurienne", car un latiniste confiait à Gondol que le linguiste avait consacré de nombreuses années à un procédé qu’il pensait avoir décelé dans la poésie latine archaïque, à savoir une parfaite parité des phonèmes pour chaque couple de vers. Saussure avait cependant besoin de divers accommodements, possibilité d’échanges de sons voisins, report au vers suivant des sons manquants dans un vers… Malgré sa certitude, il n'avait pas publié ses résultats, faute de n'avoir trouvé aucun semblant de confirmation dans les anciens traités de poésie. Mon ode était parfaite, avec Seul qui fournissait au 2^nd vers les phonèmes "s" et "eu" pour l'équilibrer avec le 1^er, et au 3^e le phonème "l" pour l'équilibrer avec le dernier.

  Pour diverses raisons, la parution du livre fut retardée, et je mis à profit ce retard pour le peaufiner.
  Ainsi j'y ai codé le sonnet Vocalisations de Perec, par des lettres en corps supérieur d'un point à celui utilisé. J'y ai associé une modification de l'ode, en y introduisant des majuscules intempestives; je rappelle que ça ressemble fortement à ce qu'avait fait, bien avant mais je l'ignorais, Ricardou dans ses Improbables strip-teases, où un sonnet est codé par des majuscules dans un texte sans rapport.
  D'une part les majuscules de l'ode étaient supposées orienter vers le décodage du sonnet, d'autre part elles y avaient leur propre fonction, isoler des séquences en minuscules de 10-11-12-13-14 lettres, dont l'ensemble totalisait la gématrie 730, 2 fois 365, somme des carrés de ces nombres.

  Il s'est trouvé que la réalisation m'a conduit à pouvoir le faire avec 3 majuscules TEE dans les 2 premiers vers, SEUL entièrement en majuscules, enfin 5 majuscules dans les 2 derniers vers,

Toi l’été tu es Et seras
rusée Etait ta loi, t’es
             SEUL
afin d’eMprunter
la FaIm deS printempS

soit 3-4-5 majuscules pour 10-11-12-13-14 minuscules, retrouvant les deux relations sur les carrés que j'imaginais avoir pu inspirer Virgile.

  Mes recherches m'avaient amené à d'autres associations de ces motifs 10-11-12-13-14 et 3-4-5, ou 60 et 12, le plus remarquable étant le nom du dieu Alcimedon apparaissant dans la 3^e églogue. Ses lettres peuvent se répartir en
C-D-E = 3-4-5, et
AI-L-M-N-O = 10-11-12-13-14.
  Dans l'alphabet latin, la 10^e lettre est K, devenue rarissime au temps de Virgile, pratiquement réservée à l'abréviation KAL pour kalendas, "calendes".
  Une autre trouvaille datait de mon illumination dans le train 5050. Les 4 mots en D du vers refrain sont
Ducite Domum = 60 62, "amène à ma maison"
Ducite Daphnim = 60 62, "amène Daphnis"
  Le verbe ducere commande ici le locatif domum de domus, et l'accusatif domum de domus. Ainsi, ducite induit dans chaque cas la désinence -m, avec
- les deux ducite -m = 144, carré de 12, les lettres résiduelles = 100, carré de 10;
- ducite -m = 60 + 12, ou encore, puisque les lettres c-d-e sont aussi présentes dans ducite,
C-D-E + UITM = 3-4-5 + 60.

  Les Eglogues de Virgile sont une adaptation très libre des Idylles du grec Théocrite. J'ai eu à coeur en écrivant ce billet de réexaminer l'idylle 2 de Théocrite (ici avec traduction française) qui a inspiré la 8^e églogue, et j'ai été stupéfait de sa structure, alors que je suis absolument certain d'avoir étudié attentivement ce texte en 1995, en grec comme en traduction.
  Ce sont deux chants successifs de Simaitha, contant ses sortilèges pour faire revenir à elle son amant Delphis. Chez Virgile, seul le chant d'Alphésibée a ce thème.
  Chez Théocrite, une partie seulement de chaque chant a une structure régulière, à savoir pour le premier 10 strophes de 4 vers, ponctuées chacune d'un vers refrain, pour le second 12 strophes de 5 vers, ponctuées chacune d'un vers refrain.
  Soit 60 vers + 12 vers refrains pour le second chant!
  Et en tout 72 + 50 vers pour ces parties régulières, soit 122, valeur de Ducite Domum ou Ducite Daphnim, ultime résumé de ces chants!!
  Le premier chant aurait un vers surnuméraire dans la dernière strophe, le vers 61, ici entre crochets, j'imagine parce que le traducteur y voit une possible interpolation. En fait, un examen plus attentif me fait voir que la première strophe ne compte que 3 vers (débutant au vers 14, Χαῖρ᾽, Ἑκάτα δασπλῆτι, "Terrible Hécate, je te salue"). Ainsi, en validant le vers 61, le total de 50 vers annoncé plus haut est exact, et ce chant contient des strophes de 3, 4, et 5 vers, comme chez Virgile (les Idylles datant  du 3^e siècle avant JC, il est fort possible que l'éventuelle interpolation fût présente au temps de Virgile). Je rappelle que 50 est la somme des carrés de 3-4-5, nombre souvent vénéré dans l'Antiquité, à cause de la relation de Pythagore. Les chants amébées de la 5^e églogue ont 25 vers, répartis en 9+16.
  Cette page met aussi le vers 61 entre crochets, et décale les vers refrains, mais ne démarque pas les 13 premiers vers. Cette wikisource, avec traduction en anglais, omet le vers 61, et fait ainsi se succéder les vers 60-62, valeurs  de Ducite Daphnim!!!

τᾶς τήνω φλιᾶς καθ’ ὑπέρτερον ἇς ἔτι κα νύξ,          60
καὶ λέγ’ ἐπιφθύζοισα· «τὰ Δέλφιδος ὀστία μάσσω.» 62

  Ce n'est pas tout, mais je dois d'abord revenir à l'ode Toi l'été, où mon choix des majuscules pour les deux premiers vers avait été immédiat, puisque précisément ETE me permettait d'isoler 3 séquences de 10-11-12 lettres.

Toi l’été tu es Et seras
rusée Etait ta loi, t’es
             SEUL
afin d’eMprunter
la FaIm deS printempS

  Les deux derniers vers avaient 14 et 18 lettres, et il fallait donc choisir 1 majuscule dans le premier, 4 dans le second, de manière à avoir la valeur 730 pour les 60 minuscules.
  A l'époque, j'étais passionné de numérologie bachienne, à partir de B-A-C-H = 2-1-3-8, et j'avais fait Tom Lapnus naître le 2/1/38, et avoir une villa à Ste-Maxime, 83120.
  Il y avait deux solutions pour isoler 2-1-3-8 minuscules dans ce dernier vers, et seul F-I-S-S permettait d'arriver au total 730 avec une lettre en moins au vers précédent (vérification ici).

  Le roman est paru fin octobre 2000, et sa présentation à la librairie Epigrammes eut lieu juste après l'attribution du prix Goncourt à un certain Schuhl, d'où cette petite facétie, pas mensongère car je proposais un prix à qui résoudrait une série de 60 énigmes, réparties comme il se doit en 10-11-12-13-14.
 

  L'été 2001, un article d'un universitaire sur le nombre d'or en littérature m'avait outré par sa volonté de trouver diverses relations d'or par des approximations, sinon des erreurs manifestes. Je ne m'intéressais jusqu'ici guère au nombre d'or, je connaissais les séries de Fibonacci et Lucas, et avais repéré de ci de là quelques associations, sans éprouver le besoin d'approfondir. Un universitaire américain (Duckworth) avait publié un livre sur les relations d'or chez Virgile; je l'avais feuilleté et trouvé pareillement navrant.
  Toujours est-il que fin 2001 j'avais entrepris une étude systématique sur un corpus que je connaissais bien, les paires Prélude-Fugue du Clavier bien tempéré (CBT). J'en avais rentré tous les nombres de mesures des préludes, fugues, paires prélude-fugue sur un tableur, et regardé s'il en sortait quelque chose. Il m'avait semblé que les résultats dépassaient le simple hasard, et j'avais été particulièrement marqué par l'omniprésence des prélude et fugue 14 dans les résultats les plus frappants, 14 valeur de Bach.
  J'avais rapporté ces résultats, portant uniquement sur le premier cahier du CBT, dans cette page indigeste, me disant qu'il faudrait aussi étudier le second cahier.

  Ce n'est qu'en novembre 2003 que je m'y suis remis, avec une illumination. Je n'avais étudié en 2001 que les rapports faisant intervenir des nombres de Fibonacci ou Lucas d'ordre un peu important. Il se trouve que l'ensemble 14 du premier cahier a 24-40 mesures, et qu'il s'agit du partage doré idéal de la somme 64; il s'agit des nombres de Fibonacci 3-5-8 multipliés par 8.
  Ceci m'a orienté vers les partages dorés idéaux, et fait découvrir que le seul autre partage idéal était pour l'ensemble 14 du second cahier, en 43-70 mesures. Dans cette page du 27/11/03, j'étudiais aussi les nombres de notes de chaque pièce, le plus notable étant celui de la première fugue, 813.
  Ces pièces sont en fa# mineur, fis selon la notation allemande, ce qui m'a aussitôt fait penser au FISS de l'ode Toi l'été, précisément choisi pour découper 14 lettres en 2-1-3-8, sans songer alors que fis était la tonalité 14 du CBT.

  Ce n'est qu'en 2006 que j'ai vu d'autres possibilités offertes par l'ode de Lapnus, détaillées dans la page Deux paires en fis.
  Dans sa première version, l'ode offre 5 majuscules, TRSAL, de valeur 70, nombre de mesures de la fugue 14 du second cahier.
  Les 67 minuscules ont pour valeur 813, nombre de notes de la fugue 14 du premier cahier.
  Les 5 majuscules ont encore pour valeur moyenne 14.
  L'ensemble des 72 lettres a pour valeur 883, or, dans le second cahier, l'ensemble 14 a pour numéro BWV 883:   En cherchant l'image ci-dessus, que je me rappelais avoir déjà utilisée, je suis tombé sur ce billet de 2011, où j'avais donné plusieurs des relations de l'ode, renvoyant pour les détails à des pages de mon site aujourd'hui supprimé (mais l'ensemble des pages Bach est accessible ici, notamment ERIR est le propre de Bach que je signalais).
  Je n'aurais sans doute pas éprouvé le besoin d'y revenir si je m'en étais souvenu, et j'aurais donc manqué les nouvelles trouvailles sur Théocrite.
  J'avais annoncé que ce n'était pas fini, et voici...
  L'idylle 2 est souvent citée comme la plus belle, et la version qui nous est parvenue a 166 vers, répartie en 63 pour le premier chant, et 103 pour le second, or le partage doré idéal de 166 est 103-63. Il y a bien sûr la question du vers 61, mais il figure dans la plupart des éditions (et si l'on choisit de l'ignorer parce qu'il est surnuméraire dans la dernière strophe, on peut aussi imaginer la perte d'un vers de la première strophe, qui n'a que 3 vers).
  Ainsi 103/166 = 0,620..., proche du nombre d'or, phi = 0,618...
  Le but des incantations est de faire se retrouver Simaitha et Delphis, lequel a phi dans son nom, or, selon l'isopséphie grecque;
Σιμαίθα = 271,
Δέλφις = 749,
la moyenne des deux étant 510, valeur de phi, φι, 21^e lettre de l'alphabet grec.

  Certes les Grecs anciens n'appelaient pas la divine proportion phi, choisi assez récemment d'après l'initiale de Phidias, mais tomê, τομἠ, "section".
  Comiquement, en grec moderne, ce mot peut désigner la "césarienne"...
  L'isopséphie de τομἠ est 418, confirmation ici:

"τομἠ" in the Greek Isopsephy system transliterates to "tome" and equals 418

   Ceci m'est immédiatement évocateur, et à nouveau source d'ébahissement, car je connais ce mot depuis longtemps, et généralement je calcule la valeur des mots "importants", or je connais bien 418, valeur de l'éon personnel Aiwass d'Aleister Crowley, 418 apparaissant dans chaque strophe de son Liber 813.
  Et je connais aussi 418 en association avec la section d'or. J'avais codé le sonnet Vocalisations dans mon roman parce qu'il m'était emblématique, et parce que ses 14 chapitres s'y prêtaient. L'une des propriétés de ce sonnet était sa valeur 6272 multiple du nombre de ses mots, 112,
6272 = 112 x 56.
  6272 m'évoquait aussi Arsène Lupin, car
ARSENE LUPIN = 62 72,
et Perec mentionnait Lupin dans plusieurs de ses oeuvres. J'avais aussi remarqué la valeur des 67 mots composant les quatrains du sonnet,
3618 = 67 x 54, ou encore 27 fois 134, ARSENE LUPIN.
  Quelques années plus tard, lorsque je me suis intéressé au nombre d'or, j'ai découvert plusieurs harmonies dorées dans des textes de Perec, et notamment dans ce sonnet, car, en en omettant le dernier vers, les 5 premiers vers des tercets livrent la valeur 2236, avec
2236/3618 = 0.61802..., excellente approximation de la section d'or, 0,61803...
  2236 pour 5 vers est évocateur, car la racine carrée de 5 est souvent arrondie à 2,236. Cette racine est étroitement associée à la section d'or dont la valeur algébrique est
(√5-1)/2, soit 0,618 en s'en tenant à trois décimales.

  Or la valeur du dernier vers du sonnet est 418, nombre qui m'avait frappé à cause du Liber 813 de Crowley, paru à peu près au même moment que le 813 de Leblanc, et on se rapproche encore plus de la section d'or en choisissant le rapport des 8 vers des quatrains sur l'ensemble des 13 vers,
3618/5854 = 0.61803...,
et ce rapport est la tomê des Grecs, τομἠ = 418, dont l'initiale τ, tau, a souvent été utilisée comme symbole mathématique de la section, avant que phi prenne l'avantage.
  J'ai pour la première fois mentionné cette harmonie en 2010, en signalant les facéties auxquelles je m'étais livré pour le codage des vers 8 et 13 du sonnet, facéties dont toute la portée ne m'est apparue qu'en 2022. Il y avait évidemment au départ un lien avec le roman de Leblanc, et avec l'association 813 des amateurs de polar dont j'étais membre, mais les échos avec Lupin allaient bien au-delà.

  Je rappelle que l'ode Toi l'été est issue du nom Tom Lapnus, lequel devait son patronyme a sa femme, Irène Lapnus, anagramme d'Arsène Lupin, trouvée à partir du prénom féminin Irène.
  Je n'avais aucune idée d'avoir alors forgé un "nom doré", qui plus est spécial car ses valeurs 51 83 évoquent l'angle d'or, 51,83°, l'angle dont le cosinus est phi, si bien qu'on peut écrire
cos(51,83) ≃ 51/83.
  C'est le 1^er mars 2005 que j'ai découvert cet angle d'or, et il s'en est suivi toute une série de découvertes qui ont culminé le 13/4 (134=51+83) avec ces nombres structurant Alphabets de Perec.

  Il m'a fallu près de 25 ans pour voir que les 166 vers de l'idylle de Théocrite offraient également un partage doré en 63 et 103, or
(51+63) + (83+103) = 114 + 186 = 300, or la lettre τ, tau symbole de la section d'or, est aussi en grec le chiffre 300.
  Et il se trouve que 300 est aussi un résultat fabuleux de cette étude bachienne de 2003. Si les ensembles prélude-fugue 14 des deux cahiers du CBT sont les seuls incontestablement dorés, il en est un autre qui est valide en s'en tenant à la musique écrite, BWV 869, avec 47-76 mesures, mais le prélude doit être répété lors de l'exécution. On a alors, préludes et fugues séparément,
(24+47+43) + (40+76+70) = 114 + 186 = 300,
ou 3x(38+62), 38/62 étant une approximation utile de phi, ou τ, rapportée à 100, et ce fameux clavier est donc idéalement τεμπέρέ. D'autant que ces 3 ensembles ont les rangs 14-24-38 parmi les deux cahiers (série additive se poursuivant par 62-100).

  Pour ajouter à l'intrication de ces dossiers Virgile, Bach, Lupin, Perec, je rappelle que 47 76 sont les valeurs de PEREC GEORGES, dont un avatar est
GEORGE / BRETZLEE = 57/93 = 114/186.
  Ces récents développements n'auraient pas vu le jour si 11881, 45^e nombre étoilé, n'était aussi le 109^e carré.
  Le nombre étoilé d'ordre N est encore 12 fois le nombre triangulaire d'ordre N-1, plus 1. Le nombre triangulaire d'ordre 44 est 990, or l'un des textes de Perec offrant le plus de curiosités numériques est 11x(11+11)+11, en 990 lettres.

  13 avril, exactement 19 ans après la "révélation du 13/4 2005": je me suis couché hier après avoir écrit le paragraphe ci-dessus. Je me suis réveillé à plusieurs reprises, la tête pleine de ces coïncidences dorées qui semblaient prévues dans mon roman, écrit alors que je me souciais fort peu du nombre d'or:
- Irène Lapnus qui nombrait le partage doré de 134;
- mes comparaisons des deux chants de l'églogue 8, inspirée par l'idylle 2 de Théocrite, dont j'avais étudié les 166 vers (je me souviens que l'oiseau magique du premier vers refrain, iunx, m'avait fait penser à Jung);
- l'ode Toi l'été qui annonçait mes découvertes bachiennes de 2003 sur les 300 mesures des ensembles dorés du CBT;
- la répétition dans ces coïncidences du nombre 300, valeur de la lettre τ, tau, symbole de la section d'or, initiale de tomê, de valeur 418;
- le codage dans le chapitre final, supposé mettre "le mystère K.O.", du vers de Perec de valeur 418.

  Divers prolongements numériques me sont venus, à approfondir ultérieurement, mais il m'est aussi venu que j'avais précisément baptisé Tom mon exégète illuminé Lapnus, bien sûr calqué sur moi, dans mes moments d'exaltation.
  C'était le diminutif de Tomieslav (mot-valise), ces mots étant aussi choisis pour des raisons gématriques:
TOM LAPNUS = 131 (selon notre alphabet) = VERGILIUS (selon l'alphabet latin);
TOMIESLAV LAPNUS = 199 = RAYMOND ROUSSEL, également au premier plan du roman.
  En grec moderne, τομἠ se prononce tomi.

  J'aurais aimé assurer que cette découverte eut lieu à 4:18, mais c'était plutôt vers 2 h.

404 le juste

à Dan & Fabrice

  Je prévoyais de publier le billet précédent plus tard, et puis je me suis avisé dimanche que je venais de publier le 402^e billet de Quaternité, alors qu'approchait le 4/04, où je comptais bien publier quelque chose sur des 4 avril rencontrés dans mes lectures.récentes.
  De fait, le 4/04 à l'américaine (April 4^th) est la journée geek de l'erreur 404.

  Je n'aurais probablement jamais lu le premier roman concerné (pas celui ci-contre, car j'ai décidé de n'illustrer le présent billet que par des 404) si je n'étais bibliothécaire. Nous recevons tous les 6 mois quelque 200 livres de la médiathèque départementale du 04, renouvelant une partie de notre fonds.
  J'examine tous ces livres, et ce titre du lot de mars a attiré mon attention, Une douce lueur de malveillance de Dan Chaon (Ill Will, 2017). Le début de la 4^e de couv' (la suite ici, ainsi que des commentaires élogieux):

  « Nous n'arrêtons pas de nous raconter des histoires sur nous-mêmes. Mais nous ne pouvons maîtriser ces histoires. Les événements de notre vie ont une signification parce que nous choisissons de leur en donner une. »
  Tel pourrait être le mantra de Dustin Tillman, psychologue dans la banlieue de Cleveland. Ce quadragénaire, marié et père de deux adolescents, mène une vie somme toute banale lorsqu'il apprend que son frère adoptif, Rusty, vient d'être libéré de prison. C'est sur son témoignage que, trente ans plus tôt, celui-ci a été condamné à perpétuité pour le meurtre de leurs parents et de deux proches. Maintenant que des tests ADN innocentent son frère, Dustin s'attend au pire.
  Au même moment, l'un de ses patients, un policier en congé longue maladie, lui fait part de son obsession pour une étrange affaire : la disparition de plusieurs étudiants des environs retrouvés noyés, y voyant la marque d'un serial killer.

  Le roman utilise des techniques d'écriture expérimentales, avec par exemple une narration qui suit divers personnages, parfois à la première personne, parfois non (les deux dans le cas de Dustin).

  Il avait 13 ans lors de la quadruple mort de ses père, mère, oncle et tante, dont il a découvert les corps, et ce sont ses actes lors de cette découverte et ensuite qui ont conduit à l'inculpation de son frère, alors âgé de 18 ans. Rusty passera 29 ans en prison, Dustin ayant effacé ses actes de sa conscience...
  Il est donc devenu psychologue. Le roman s'ouvre sur la découverte en novembre 2011 du corps d'un étudiant noyé, ce qui semble confirmer la thèse de son patient Azil Ozorowski, lequel l'a averti lors de la première consultation:

je vous jure que si vous m’appelez une seule fois le Magicien d’Oz, je vous tue.

  Azil, ancien flic, a repéré une série de disparitions et de morts suspectes par noyade, pouvant dessiner un schéma de dates: 01/01/01, 20/02/02, 30/03/03, 04/04/04, etc., jusqu'au 10/10/10. Dustin n'y croyait pas trop, n'ayant pas réussi à vérifier tous les cas, mais ce nouveau mort du 11/11/11 le fait prendre Azil au sérieux.
  Ils se rendent ensemble sur les lieux d'une nouvelle disparition, le 12/12/12, et là des choses bizarres se passent. Une flique les chasse, Dustin perd son portefeuille, lequel lui est restitué anonymement ensuite, accompagné d'une clé USB contenant un fichier faisant entendre les longs cris de souffrance d'un homme supplicié...

  Les lecteurs cités ci-dessus ont donc un avis très favorable, mais plusieurs signalent que, une fois le livre achevé, ils ont ressenti le besoin de le relire pour mieux comprendre les intentions de l'auteur.
  C'est aussi mon avis, mais l'analyse littéraire passe pour moi loin derrière celle des coïncidences, et ici l'amateur de quaternité est gâté. D'une part un quadruple meurtre, d'autre part cette série effarante se déroulant sur 12 ans. J'apprécie les dates géminées, et ai fait mourir les 4 latinistes de mon premier roman les 3/3, 4/4, 5/5, et 6/6 (1999), inspiré par les 12 protagonistes d'un roman de Queen nés chacun l'un des mois de l'année, les seules dates précisées étant géminées.
  J'ai publié des textes importants, en 10.10.10 lettres le 10/10/10, et en 11.11.11 lettres le 11/11/11.
  Ici la victime du 01/01/01 est Jonathon Frisbie, ce qui m'évoque vaguement Queen, alias Daniel Nathan. Celle du 04/04/04 est Jesse Hamblin, et je pense à Jésus, puisque cette date, importante pour moi (celle où j'ai vu le schématisme du 4/4/44), était le dimanche des Rameaux.
  Rien en revanche ne me semble se dégager de l'ensemble des prénoms-noms, sinon la gématrie des 12 noms
FRISBIE,ISOLATO POTTS,HAMBLIN COMBE OROZCO WAMSLEY McGIBONEY GORRINGE NORBY ALLINGHAM BREWER = 944,
qui me fait évidemment penser à 1944. Je rappelle que la date de naissance de Jung, le 26 juillet 1875, un peu avant 8 h du soir, n'a rien de spécial a priori, mais qu'y ajouter 4 fois la période unitaire de 6272 jours et 4 heures, mène au 4/4/44, le jour de l'échange.
  4 autres additions de cette période mènent au 6/6/61, mort de Jung, puis au 8/8/78, au 10/10/95, et enfin au 12/12/12, peu avant minuit (12 PM).

  Un autre titre de Dan Chaon a attiré mon attention, Le livre de Jonas, car Jonas ("colombe" en hébreu) revient souvent dans mes recherches, mais en anglais c'est You remind Me of Me (2004). Je n'ai essentiellement jusqu'ici que consulté sa table des chapitres, 3 parties, chacune de 12 chapitres, 12-12-12, dénotant peut-être une certaine suite dans les idées...

  L'autre roman dont il s'imposait de parler en ce 4/04 est le 4^e thriller de Fabrice Papillon, La Conjuration de Dante, paru début mars. L'intrigue débute précisément le 4/04/24.
  J'avais apprécié son premier roman, Le dernier Hyver (2017), pour l'intrigue et pour les coïncidences. Je l'étudiais ici, et je rappelle cette coinc quaternitaire:

un point essentiel du roman de Papillon est la création de 5 clones dont la cadette, Marie, est destinée à devenir la reine d'une ruche de clones, mais elle refuse ce rôle, or Les orphelins du mal de NEO (2009) montrait déjà un autre groupe initial de 5 clones dont la cadette est destinée à devenir la reine d'une ruche de clones, mais elle refuse ce rôle.
  Elle se nomme Marjolaine Papillon...

  J'ai moins apprécié son second roman, Régression, mais j'en ai parlé ici pour quelques coincs, notamment une série de meurtres dont les emplacements dessinent un rectangle en Europe. Les 4 latinistes de mon roman mouraient aussi aux sommets d'un rectangle parisien.
  Je précise que j'avais signalé à Papillon mon billet consacré à son premier roman. S'il ne m'a pas répondu, il a pu y découvrir mon obsession quaternitaire.

  Quant au 3^e thriller, Aliénés (2021), c'était vraiment pas terrible à mon sens, et je n'y ai rien trouvé à commenter.
  Le nouvel opus me semble aussi calamiteux, mais du moins son début le 4/4/24 mérite une mention. Je me permets d'ajouter que 24 est la factorielle de 4, notée !4.
  De plus, les 4 premiers chapitres se passent ce 4/4, et on passe au 5/4 pour les chapitres 5 et 6.
  Le roman imagine une confrérie de 9 supercerveaux se renouvelant depuis quelques siècles, le Gyrum Novem, dont le dernier chef aurait été Stephen Hawking. Papillon m'a appris que Hawking a été diagnostiqué à 21 ans du syndrome de Charcot, maladie qui entraîne généralement le décès en quelques années, mais qu'il a vécu ensuite 55 ans, se payant le luxe de mourir l'anniversaire du jour de naissance d'Einstein, alors qu'il était né trois cents ans jour pour jour après la mort de Galilée. Je note que 21 et 55 sont des nombres de Fibonacci.

  Le Gyrum Novem était jusqu'ici plutôt inoffensif, mais le désastre écologique conduit l'un de ses membres, le biologiste Alban Vogel, à planifier de guérir la planète en en éradiquant la race humaine.
  Et il y réussit en partie le 23 avril en déclenchant une série d'explosions nucléaires dans le monde entier...
  Ce nom Alban Vogel du responsable de la disparition de l'humanité me fait penser à deux personnages de La Disparition de Perec, personnifiant les voyelles, Anton Voyl, et Albin Mavrokhordatos.

Note: çoeur dp me signale: Alban Vogel me fait penser à deux personnages importants de la Tétralogie (ça convient à merveille) : Alberich, qui fabrique avec l'or du Rhin le fameux anneau  ... et le "Wald Vogel", l'oiseau qui révèle (au héros Siegfried  qui vient de tuer le dragon et de goûter au sang de celui-ci) la présence de Brunhilde endormie sur son rocher gardée par un mur de feu.

  Un autre livre lu en mars mérite mention, bien qu'il n'y soit pas question de 4 avril. C'est un polar médical trouvé dans la boîte à livres de l'hôpital de Manosque, Vengeance programmée, de Paul Wilson (1996).

  C'est plutôt bien construit, sans temps mort. Le chirurgien Duncan Lathram a jadis vu sa carrière ruinée par une commission sénatoriale qui a mis sa probité en doute. Un acharnement médiatique contre lui a conduit sa fille à se suicider. Lathram a été totalement blanchi ensuite, trop tard.
  Il s'est installé à Washington où il est devenu le spécialiste en chirurgie esthétique le plus renommé de la capitale, ce qui n'était pas sa vocation initiale, mais il a choisi cette spécialité pour mener à bien une terrible vengeance. Les responsables de sa déchéance passée finissent par venir le voir, et il a conçu un composé psychédélique qu'il introduit dans leurs corps, sous une membrane protéique qu'une fréquence ultrasonique peut dissoudre au moment de son choix, provoquant des dégâts irréversibles au cerveau.
  Il peut ainsi traiter les 4 principaux responsables qui l'avaient traîné dans la boue, dont les noms sont
LANE SCHULZ ALLARD VINCENT.
  J'ai des raisons personnelles d'apprécier ce sénateur Schulz, mais me réjouis encore plus de la somme des valeurs des 4 noms,
256 = 4x4x4x4.
  Une assistante de Lathram suspecte quelque chose, mais lui a compris qu'elle le suspecte, et monte un piège pour la discréditer, et s'attaquer tranquillement à sa victime finale, laquelle n'est autre que le président US, celui qui avait créé la commission sénatoriale.

  Ce président n'est jamais nommé, à l'époque c'était Clinton, 42^e président US, mais les soins esthétiques demandés semblent concerner quelqu'un de plus vieux. On peut penser au 40^e président, prénommé RONALD = 64 (valeur moyenne des LANE SCHULZ ALLARD VINCENT.)
  Quoi qu'il en soit, Lathram ne parvient pas à ses fins, et ce qui m'a fait mentionner ce polar est que j'ai lu il y a peu Quatre ?, le dernier volet d'une tétralogie de Bilal, où ces 4 sont 4 orphelins de Sarajevo, le ? pouvant désigner l'autre personnage essentiel de la série, Optus Warhole. Son prénom est une anagramme évidente de POTUS, l'acronyme désignant le président US (President Of The United States). Ainsi dans les deux oeuvres un quatuor est complété par un élément de nature différente, lié au POTUS.
 

  A propos de Schulz et de quaternité, un 4^e roman lu récemment, encore un livre voyageur, un manuscrit retrouvé de Pierre Boulle édité 10 ans après sa mort, L'Archéologue et le mystère de Nefertiti (2005).
  L'intrigue est abracadabrantesque. Le narrateur vient d'être éconduit par son amie, qu'il a conduite de Paris à Louqsor en avion. Il rencontre un archéologue dont nous ne connaîtrons pas le nom, pas plus que ceux du narrateur ni de l'amie. Le narrateur conduit l'archéologue vers un site montagneux où celui-ci pense que se trouve le tombeau de Néfertiti, mais l'avion tombe en panne et semble devoir s'écraser sur le flanc d'une montagne...
 

...mais l'avion perce un simulacre de paroi rocheuse, et atterrit dans une grotte, laquelle se révèle être le lieu abritant le sarcophage de Néfertiti. Les deux hommes arrivent à faire glisser la dalle du sarcophage, et le narrateur y découvre avec ahurissement son amie, bien vivante...
  Enfin ce qui me fait citer ce roman est sa structure, en 4 parties de 4-5-8-8 chapitres, plus un épilogue. Si j'inclus l'épilogue dans la dernière partie, j'obtiens 4-5-8-9 qui n'est autre que le code PIN de mon ordi, correspondant à mon nom:
REMI  SCHULZ = 45  89.

Note du 14/4: Je viens de me souvenir que j'avais consacré ce billet aux oeuvres de fiction débutant un 4/4 20, 40, et 60 ans après le 4/4/44. Pour les 80 ans vient donc le roman de Papillon...

Note du 18/4: L'AAAL signale cette parution chez l'éditeur Renaissance du livre, apparaissant ainsi ce jour sur le site de Ganimard.
J'ai coupé pour faire apparaître 404 (c'était 1 404), mais le résumé débute par

Arsène Lupin est arrêté : l'aventure est-elle donc finie pour lui ? Erreur !

Ce poche paru le 7/03/24 est déjà dit "épuisé", sans doute plutôt retiré de la circulation.
Précisément le 4/04/13, je signalais le poche Le mystère de la chambre jaune, de Conan Doyle.

astérie et obélie

à Jacob & Israël

Le 6 mars, je me suis réveillé avec une idée en tête:
Un nombre étoilé, multiplié par un facteur K, puis diminué de K-1, donne un autre nombre étoilé.
Ce pourrait être la 121^e conjecture de Schulz,
Em * K  - (K-1) = En
Elle se vérifie.
Pour le trivial E = 1, ça marche dans tous les K.
Pour le premier nombre étoilé digne de ce nom, 13, les K sont les nombres triangulaires, permettant de produire tous les E.
Ensuite ça devient plus complexe, quoique régulier, mais je suis incapable de trouver une formule générale.
Pour 37, les K sont 2, 5, 7, 12, 15, 21, 26, 35..., permettant d'obtenir 2 E sur 3.
Pour 73, les K sont 6, 11, 13, 20, 35, 46..., permettant d'obtenir 1 E sur 3.
Ensuite ce n'est guère oulipiennement exploitable.

Une autre curiosité est l'apparition fréquente de carrés, avec par exemple
361 = 30*13 -29 = 10*37 -9 = 5*73 -4 = 3*121 -2 = 2*181 -1.

Oulipiennement, ça signifie que K astéries, unies par un sommet, ont le même nombre de lettres qu'une astérie d'un autre ordre (ou un carré). D'où un même texte peut coder différents messages, le choix des lettres codantes et de leur lecture étant selon le goût de chacun.

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  Ceci était un message envoyé à la listeOulipo le 9 mars. Je ne sais plus les circonstances exactes de l'intuition de départ, je suis souvent dans un état bizarre au réveil, les idées embrumées par les rêves de la nuit. Tout ce que je peux assurer est que j'avais vu quelques jours plus tôt que deux astéries (c'est ainsi que la contrainte a été baptisée, par Jérémie Piscicelli, voir Une étoile est née) de 37 lettres totalisent, en les réunissant par un sommet, 73 lettres, 73 étant le nombre étoilé suivant.
  J'ai attendu le 9 mars pour en faire part à la liste, car j'avais entrepris de composer un exemple à partir du texte proposé cette année sur Zazipo, Chanson des rues de François Caradec.
  J'ai donc posté ce même jour un poème s'inscrivant à la fois dans une astérie de 181 lettres et dans 5 astéries de 37 lettres en colonne (ce que j'ai appelé obélie), unies par les pointes.
 

  Dans les deux figures les pointes des astéries écrivent des messages qu'on pourra découvrir, ainsi que le poème en clair, sur Zazipo.

  J'ai ensuite conçu un projet plus élaboré, à partir du 10^e nombre étoilé, 541 qui est la valeur de l'hébreu Israël, dont un symbole historique est précisément l'étoile à 6 branches.
 

  J'ai choisi un sujet qui me tient à coeur, la lutte avec l'ange (Gn 32,23-32). Au gué du Jaboc (vadus Jaboc, orthographe originale de la Vulgate, souvent devenue vadus Jacob  dans des éditions ultérieures, notamment la mienne, de 1710), Jacob doit se battre avec un ange qui est en fait Dieu, lequel le blesse à la cuisse avant de le bénir et de lui donner son nouveau nom, Israël, "celui qui a combattu Dieu".

  J'ai imaginé dans le chapitre 17 de Novel Roman que le templier Bernomartus avait retrouvé sur les lieux le compte-rendu de l'incident par Jacob lui-même, différant quelque peu du récit biblique. Jacob se serait aperçu pendant la lutte que Dieu était androgyne, et, par sa blessure "à la cuisse", Jacob serait devenu lui-même androgyne.
  Quelques commentaires sur le billet de Quaternité associé.

  Il y a eu des rebonds en juillet dernier, avec le 11 la découverte du thriller Le maître des énigmes, basé sur l'idée que le tétragramme YHWH doive se renverser en HW HY, soit "Il-Elle", signifiant que Dieu est androgyne.
  Le 23, Daniel Bilous proposa sur la listeOulipo cette facétie:

Changer de sexe
Pour un rabbin
C'est très complexe
Vous pensez bien!
Moralité: I s'ra Elle.

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  J'ai regretté de n'y avoir pas pensé en 2018.

  541 est un nombre possible de lettres pour un sonnet d'alexandrins, quoique un peu élevé. Pour y pallier j'ai pensé à utiliser des vers de 13 pieds, avec 14x13 = 182, précisément la gématrie de Jacob en hébreu, Yaaqov = 182.
  541 permet deux possibilités d'obélie, 15x37-14 et 3x181-2 (sans compter 45x13-44). J'ai un temps songé à utiliser les deux, mais compris que ce serait très difficile, et ai donc opté pour 3x181-2, avec un message idéal à placer dans les 16 pointes:
IL SERA ELLE ISRAEL
  Pour l'astérie, le message serait bien sûr
ISRAEL

  Puisque le thème est l'androgynie, j'ai décidé d'utiliser des rimes plates androgynes. Dans chaque couple un vers à terminaison féminine rime avec le suivant à achèvement masculin.
  J'ai encore choisi de faire des vers isocèles, de 50 espaces typographiques (imposés par le premier vers composé, le vers final en fait).
  Voici donc le sonnet:
 

  Et voici l'astérie-obélie (cliquer pour agrandir):
  

  Le poème a pour valeur totale 6266, qu'on pourrait lire 26 (valeur de YHWH) au milieu de 66 (valeur de Allah en arabe, le Jaboc est actuellement en Jordanie, terre islamique).
  6266 est d'ailleurs un multiple de 26, 241 fois 26. 241 est la valeur du verbe amar, AMR, "dire", "parler", et le sonnet s'achève sur la parole de YHWH.
 
  Ceci n'a rien d'intentionnel, de même que les valeurs des deux vers précédents:
C'est Lucifer actant le glas de ma dernière heure! = 394
se dit Jacob; lorsque explosa la voix du Seigneur: = 493

  Le sonnet compte 138 mots, et je me souviens qu'un commentaire associe la valeur 138 du mot tsema'h, "rejeton", désignant le Messie, à un autre mot de même valeur (mais je ne me souviens plus duquel).

Note: phrère Sam me signale, de mémoire, que ce doit être Mena'hem, rejeton de Judas de Gamla, candidat à la messianité il y a quelque 2000 ans. Les Loubavitch se sont aussi servis de la prophétie de Zacharie pour prétendre que deux de leurs rabbis étaient le Messie...

  Il n'était guère présentable d'aligner une colonne de 15 astéries de 37 lettres, laquelle aurait compté 121 lignes (tiens, c'est aussi un nombre étoilé, et l'astérie de 541 lettres compte 37 lignes), aussi j'ai pensé à d'autres possibilités de réunir deux astéries par une pointe, comme ceci ci-dessous, toujours avec le texte du sonnet (cliquer pour agrandir):
 

  Ces diverses représentations multiplient les possibilités de découvrir des messages imprévus en diagonale. C'est une autre voie de prévoir de telles lectures en contrainte complémentaire...

  Une autre représentation, avec la couronne d'astéries formant un écrin pour le sonnet: