à Carlos & Jainos
Le précédent billet m'a conduit à une importante avancée dans mes études bachiennes. Les 1032 mesures des Inventions à 2 et 3 voix pourraient exprimer les notes b-a-c-h, correspondant selon la notation allemande à 4 demi-tons consécutifs, a-b-h-c, la si♭ si do; en les faisant correspondre à 0-1-2-3, bach devient 1032.
Les deux recueils sont contemporains, 1722 pour l'autographe du CBT, 1723 pour celui des Inventions, et ont beaucoup de points communs dans leurs intentions didactiques. Ainsi, trois siècles plus tard, l'Invention 1 et le Prélude 1 figurent toujours parmi les pièces proposées aux clavistes débutants, tout en figurant également au répertoire des plus grands concertistes.
Tatlow émet quelques hypothèses sur ces chiffres 1-2-3, mais l'essentiel de sa thèse est que Bach aurait privilégié la répartition de ses recueils selon des proportions simples, telles que 1:1 ou 1:2.
J'ai déjà donné écho aux répartitions qu'elle envisage pour les Inventions et le CBT 1, plutôt convaincantes, mais son ouvrage est très copieux, et j'avais manqué un développement sur les Inventions qui, à mon sens, remet tout en cause...
Avant l'autographe de JS Bach en 1723, il existe deux autres copies des pièces, une première avec quelques divergences avec l'état final de 1723, due à JS et à son fils Wilhelm Friedemann (12 ans en 1722), une autre de son élève Kayser, où les pièces sont identiques, mais dans un ordre différent.
J'ai pris la liberté d'ajouter au tableau de Tatlow les noms allemands des tonalités concernées.
Dans la première version, l'Invention à 2 voix est un Praeambulum, celle à 3 voix une Fantasia.
On peut télécharger l'ensemble du Clavier Büchlein où sont ces pièces, et je ne m'en suis pas privé. Les Praeambuli 3 et 6 sont bien d'autres versions cohérentes des futures Inventiones 7 et 13, en revanche la Fantasia 14 correspond exactement aux 12 premières mesures de la future Sinfonia 3. Bach a interrompu brutalement sa copie ici, et rien ne permet de penser qu'elle n'aurait pas eu pareillement 25 mesures si Bach avait achevé son travail (le recueil s'achève sur cette pièce tronquée).
Et s'il l'avait achevé, rien ne permet de penser que la Fantasia 15 n'aurait pas eu les 32 mesures connues par la suite.
Ceci a une conséquence époustouflante qu'aurait d'ailleurs pu exploiter Tatlow. Les Praeambuli ont donc ici 482 mesures au lieu des 488 des Inventiones. Mais la pièce en Mi majeur (E) est à reprises, la seule du recueil, et doubler ses 62 mesures mène à 544, le nombre même de mesures des Sinfoniae.
Aucun exemple de Bach's Numbers n'arrive à la cheville de ce cas, alors que Tatlow utilise parfois les reprises dans ses calculs : ces deux séries de pièces on ne peut plus comparables ont donc le même nombre de mesures, sans le moindre bidouillage.
Van Houten & Kasberger ne connaissaient manifestement pas non plus ce premier état, eux pour qui le nombre 544 est essentiel dans leur lecture rosicrucienne du corpus bachien.
Si Tatlow est une éminente historienne, je me permets de douter de ses compétences musicales, car il est tout à fait évident que la Fantasia 14 est tronquée, et que ceci explique l'absence de la Fantasia 15. Or elle imagine que les 499 mesures des Fantasiae, telles qu'elles se présentent dans le Clavier Büchlein, ont donné l'idée à Bach de la répartition 500-500-32 qu'elle lit dans la copie de Kayser, si bien qu'elle assène que Bach a modifié en conséquence les 3 pièces incriminées, suggérant que l'absence de la Fantasia 15 dans le Clavier Büchlein soit en rapport.
Donc il est clair que Bach n'a modifié que deux pièces pour passer de 1026 mesures de l'ensemble (ou 1088 avec les reprises) à 1032 (ou 1094).
1032 mesures s'achevant sur une pièce en 32 mesures, ceci pourrait souligner l'aspect 10-32 et mener à penser aux intervalles en demi-tons correspondant aux notes b-a-c-h.
Mais de multiples autres hypothèses sont envisageables... Les noms des deux types d'Inventions sont devenus Inventio et Sinfonia, et je remarquais que, dans l'alphabet prêté à Bach (que Tatlow utilise aussi), ces mots ont pour valeurs 102 et 83, faisant apparaître les chiffres 2-1-3-8 correspondant à b-a-c-h. Je remarquais aussi que ces mots ont les mêmes initiales I-S que le double prénom de Bach (I et J sont confondus dans cet alphabet).
Dans la copie de Kayser (visualisable ici), et il est difficile d'imaginer que ce soit à son initiative (il avait 17 ans en 1722), chaque Inventio est couplée à la Sinfonia dans la même clé, ainsi chaque paire I-S 102-83 peut constituer une signature IS bach.
Il y a 15 paires, 15 qui ressemble à IS, totalisant 1023 mesures, ainsi l'ensemble peut aussi constituer une signature IS bach.
L'ordre des tonalités est le même que dans le Clavier Büchlein (où Praeambuli et Fantasiae constituent deux blocs séparés).
Cet ordre a une logique certaine. Il présente d'abord une gamme naturelle ascendante, Do ré mi Fa Sol la si, C d e F G a h, en choisissant à chaque étape le mode majeur ou mineur avec le nombre minimal d'accidents à la clé. Ensuite on redescend jusqu'à do mineur; il n'y a que 6 tonalités naturelles restantes selon ce principe, rt Bach a ajouté Si♭ et Mi♭, B et Es pour arriver à 15 (pourquoi 15? that is the question).
La répartition la plus immédiate mettrait d'une part les 14 pièces en gamme ascendante, d'autre part les 16 autres, ce qui conduit à 456-576, soit deux nombres "bachiens" selon Van Houten,
456 = 12.38 et 576 = 18.32.
18 fois 32, et la dernière pièce a 32 mesures, ce qui peut faire constater que les 15 pièces précédentes totalisent 544 mesures, comme les 15 Sinfoniae.
Ainsi, cette répartition alternée des Inventiones (488 mesures) et Sinfoniae (544 mesures) conduit à une séquence consécutive de 544 mesures, formée de 8 Inventiones (278 mesures) et 7 Sinfoniae (266 mesures). Il s'ensuit que les 15 autres pièces sont 7 Inventiones (210 mesures) et 7+1 Sinfoniae (246+32 mesures).
Difficile de prétendre comprendre ce que Bach avait en tête...
Tatlo semble avoir son idée, et assure que l'état final, parfait selon elle, est celui de l'autographe de 1723, où un idéal partage 516-516 apparaît en couplant d'une part les 6 premières Inventiones (254 mesures) avec les 6 dernières Sinfoniae (262 mesures), d'autre part les 9 dernières Inventiones (234 mesures) avec les 9 premières Sinfoniae (282 mesures).
L'autographe est introduit par la formule Auffrichtige Anleitung, "Guide Fidèle (pour les amateurs du clavier)". Le doublement du "f" dans Auffrichtige est plutôt anormal, et pourrait faire allusion à la structure 6-9-9-6. Ces deux mots en gros dans l'autographe ont pour somme
Auffrichtige Anleitung = 110 + 98 = 208 = 2.13.8
dans l'alphabet prêté à Bach, autre possible signature.
Tatlow voit ensuite chaque bloc de 516 pouvoir se diviser en deux blocs de 258, puis d'autres répartitions en blocs de 129, mais aucune logique ne semble gouverner ces blocs, et il reste 5 pièces qui ne peuvent s'apparier pour former les deux blocs de 129 manquants.
Je sais pour ma part qu'à partir d'un échantillonnage suffisamment grand de nombres relativement bien répartis dans une plage restreinte, il suffit que leur total soit divisible par X pour qu'il soit probable d'en trouver des répartitions en X blocs égaux.
J'étais il y a 30 ans capable d'écrire un programme donnant toutes les solutions possibles, hélas pas mal de neurones sont partis depuis en déliquescence. Néanmoins, j'ai pu en tâtonnant répartir les Inventions en 8 groupes totalisant chacun 129 mesures.
J'ai choisi 2 groupes de 3 pièces et 6 de 4 pièces, afin de voir s'il était ensuite possible de jongler avec les positions des pièces dans chaque colonne pour former des rangées de 258 mesures.
Je me suis borné à la première solution trouvée, que voici:
72 32 38 44 23 24 25 = 258
64 32 25 41 52 23 21 = 258
34 38 33 31 22 20 59 21 = 258
23 27 32 35 22 34 23 62 = 258
129 129 129 129 129 129 129 129 1032
Je présume qu'il y a de nombreuses autres solutions, chaque solution pouvant offrir de multiples correspondances (4608!) avec Inventiones et Sinfoniae puisqu'il y a de nombreux doublons (4 pièces de 23 mesures par exemple). Ainsi est-il possible que certaines solutions présentent d'intéressantes symétries dans l'une ou l'autre architecture des pièces, mais ce serait une tâche colossale de toutes les examiner.
A propos des doublons (4 fois 23, 3 fois 32, 2 fois 21-22-25-34-38), je constate que ces pièces totalisent 518 mesures; il reste donc 514 pour les 13 singletons. On retrouve ces nombres pour les 16 pièces de tonalités majeures (I+S 282+236 = 518) et les 14 mineures (I+S 206+308 = 514).
Le précédent billet signalait que IS est proche de 15. J'ai depuis vu que ISB est proche de 158, valeur de
IOHANN SEBASTIAN BACH = 58+86+14 = 158,
également donnée par les Sinfoniae en B-a-c-h (24+64+32+38).
518 est une anagramme de 158, de même que 185, somme de
Inventio + Sinfonia = 102 + 83 = 185.
On peut encore imaginer que les Sinfoniae constituent un BIS des Inventiones.
Je pense au fameux canon Cancrizans (canon du crabe) de l'Offrande Musicale, et constate que ses 18 mesures se répartissent en 9-9, la seconde voix étant l'exacte rétrogradation de la première.
Renversement et rétrogradation sont deux clés de l'art contrapuntique, et il se trouve que le renversement des notes b-a-c-h est identique à leur rétrogradation.
Je suis donc admiratif du découpage 6-9-9-6 découvert par Tatlow, mais beaucoup moins de ses considérations ultérieures sur les subdivisions en "queue de colombe", puisque, comme je viens de le montrer, la "perfection" est possible avec les nombres effectifs de mesures.
Ainsi, si Bach avait des intentions arithmétiques dans ces deux ordonnancements, elles étaient nécessairement présentes lorsqu'il a modifié deux des Praeambuli du Clavier Büchlein (je rappelle que Tatlow n'a pas vu la parfaite égalité entre Praeambuli et Fantasias).
Bref, il me semble illusoire de prétendre retrouver les réelles intentions de Bach, à moins que ne soit découverte une clé si péremptoire qu'elle rende compte de toutes les énigmes...
Ce qui n'empêche pas de réfléchir. Parmi les créateurs qui ont livré leurs secrets, je pense souvent à Raymond Roussel qui confiait dans Comment j'ai écrit certains de mes livres,
Le dé orné des inscriptions "L'ai-je eu, l'ai-je, l'aurai-je" vient du mot déluge. Ici je mis "l'ai-je eu" au lieu de "l'eus-je", craignant que dé l'eus-je ne laissât transparaître le procédé.mais Roussel a eu fort peu de lecteurs de son vivant, et ceux qui l'appréciaient ne cherchaient guère à décoder ses textes.
Toujours est-il que je me demande si Bach, dans l'hypothèse 1032 = bach, n'aurait pas trouvé trop claire la succession 1000-32, ou 10-32. Par ailleurs, l'ordonnancement des pièces selon la même logique que celle du CBT donne une autre raison de réunir les deux recueils. Je rappelle que le passage à 3120 permet la factorisation 15.2.13.8, la ressemblance entre 15 et IS permettant d'envisager IS.B.AC.H.
La copie de Kayser n'est pas datée, n'est-il pas envisageable qu'elle soit postérieure à l'autographe de Bach? Il existe très vraisemblablement d'autres copies supervisées par Bach qui ont été perdues, avec peut-être d'autres variantes...
Je n'en ai pas fini avec la répartition 456-576 (gammes ascendante et descendante). Si on a toujours les 14 premières pièces (14=2+1+3+8) totalisant 456 mesures (456=12.38), le 576 des 16 autres pièces n'est pas seulement le nombre bachien 18.32, c'est encore le carré de 24, 16 étant le carré de 4.
D'une part, 24.24 est un lien possible avec les 24 Préludes et 24 Fugues du CBT, d'autre part 144 est la valeur du double prénom Iohann Sebastian, autre possibilité de signature.
Je me suis demandé s'il était possible de répartir les 16 pièces en 4 groupes totalisant chacun 144. Il n'y a aucune solution 4-4-4-4, mais il y en a une 3-5-4-4 (avec 16 pièces, c'est bien moins probable que de répartir 1032 en 8 groupes de somme 129):
62 59 23 = 144
35 32 32 25 20 = 144
72 27 24 21 = 144
41 38 34 31 = 144
Il y a encore la question des 544, avec les 544 mesures des Praeambuli comme des Fantasias (avec les reprises), et les 544 mesures consécutives de 15 pièces dans l'ordre de la copie Kayser (le 576 précédent moins la dernière pièce).
544 n'est pas seulement la valeur de l'épitaphe de Rosencreutz dont Van Houten a réussi à faire correspondre les 8 mots à un redécoupage des 15 Sinfoniae, c'est aussi 4 fois 136, la somme des 16 premiers nombres pouvant former un carré magique de constante 34 pour les 4 rangées, 4 colonnes, et 2 diagonales.
Agrippa de Nettesheim a publié vers 1530 sa Philosophie occulte, où sont étudiés les carrés magiques planétaires d'ordre 3 à 10, ouvrage qui a connu une relative diffusion. Le carré d'ordre 4 est aussi connu par la gravure Melencolia de Dürer, lequel s'est permis de faire figurer la date de composition dans la dernière ligne:
Ces carrés magiques étaient des curiosités qui intéressaient aussi les mathématiciens, et il est connu que Bach était amateur de maths.
Il est peu envisageable d'utiliser directement ces nombres en musique, mais il existe diverses manipulations permettant de conserver le caractère magique en variant les nombres. Un total significatif pour les 16 nombres d'un carré d'ordre 4 pourrait être 544, 4 fois 136, 16 fois 34, et ces nombres sont présents parmi les Inventions:
- les 2 blocs originels de 544 mesures, et les 544 mesures consécutives dans la copie Kayser;
- les 2 nombres les plus élevés sont 72 et 64, somme 136; les 4 dernières Sinfoniae dans la copie Kayser totalisent 136 mesures, de même les 4 premières Inventiones en mode mineur dans l'autographe de Bach;
- ces 4 premières Inventiones s'achèvent sur les 34 mesures de la pièce en fa mineur (je rappelle Inventio = 102, 3 fois 34); la pièce en Fa majeur qui précède a aussi 34 mesures (F et f, soit 6 et 6, possible clé de lecture selon Tatlow, et f est la tonalité n° 9); les 4 dernières Sinfoniae dans la copie Kayser débutent par la pièce en Mi majeur qui a une particularité unique, un point d'orgue suivi d'un silence qui la divise en deux parties; ce point d'orgue est à la mesure 34 (Van Houten observe que dans l'autographe de Bach il divise les 544 mesures en 173 et 371, rétrogradation de 173);
L'unique point d'orgue non final, mesure 34.
- ce dernier point (d'orgue) peut conduire à considérer 16 nombres pour les Sinfoniae; la pièce à reprises peut en faire de même pour les Inventiones (ou Praeambuli) et c'est aussi celle en Mi majeur.
Cette Inventio fait partie des 15 pièces consécutives totalisant 544 mesures dans la copie Kayser, et hier 28/11 j'ai donc cherché si les 16 nombres obtenus en prenant en compte ses reprises, 20-42, permettent un découpage 4-4-4-4. Il y a une seule solution:
72 24 20 20 = 136
59 31 25 21 = 136
42 35 32 27 = 136
41 38 34 23 = 136
Comme dit plus haut à propos du partage impossible de 576 en 4-4-4-4, ceci n'a rien d'obligatoire, mais il faudrait un programme hors de mes compétences pour en évaluer la probabilité.
J'ai néanmoins considéré ce partage comme important. Il m'obsédait au point de perturber mon sommeil, ainsi j'ai repris vers 1 h la série des 15 Praeambuli, en comptant 2 fois les 62 mesures de celui en Mi majeur, et celle des 15 Sinfoniae, en coupant les 41 mesures de celle en Mi majeur en 34-7, et j'ai cherché sans utiliser l'ordi des partages 4-4-4-4. J'en ai trouvé un dans chaque cas, et je pense que c'est le seul dans chaque cas:
Praeambuli Sinfoniae (Fantasiae)
62 32 22 20 = 136 = 72 34 7 23
62 32 21 21 = 136 = 64 25 24 23
59 34 22 21 = 136 = 38 35 32 31
34 52 27 23 = 136 = 21 38 44 33
544
A noter que le scindage de 41 en 34-7 n'était pas indispensable, puisque les deux éléments figurent dans le premier quatuor "sinfonique" (mais c'est cette possibilité qui m'a motivé pour le calcul).
Je suis assez confiant qu'il est probable qu'en jonglant avec les rangs des éléments dans ces 8 séries, au moins 4 combinaisons distinctes parmi les 4^8 possibles (65536 en oubliant les doublons) afficheront le même total 272, mais, après les heures passées sur les 8 combinaisons de somme 129, je n'ai pas le courage de m'y atteler, sachant que des virtuoses de la programmation pourraient résoudre le problème en quelques minutes.
Le problème a d'ailleurs été résolu plus haut avec les 8 colonnes de somme 129 qui forment aussi 4 rangées de somme 258. Il suffit d'apparier les colonnes 2 à 2 pour obtenir un carré orthomagique de cpnstante 258, mais le cas des Praeambuli et Fantasiae a ceci de particulier qu'à chaque groupe correspondent 4 séries, et qu'il serait alors acquis que chaque case du carré orthomagique associe un Praeambulum et une Fantasia, ce qui est plutôt élégant.
De fait, les Sinfoniae étant identiques aux Fantasiae, il est envisageable d'avoir aussi un partage 4-4-4-4 des Inventiones, en scindant celle en Mi majeur en 20-42, et réorganiser les 8 ensembles permettrait alors de parvenir à un carré orthomagique de somme 258, avec chaque case associant une Inventio et une Sinfonia.
Il y a au moins un découpage 4-4-4-4 des Inventiones,
Inventiones Sinfoniae
59 23 20 20 = 122 | 72 34 7 23 = 136
42 32 27 21 = 122 | 64 25 24 23 = 136
34 34 32 22 = 122 | 21 38 44 33 = 136
52 25 23 22 = 122 | 38 35 32 31 = 136
488 544
mais je laisse à d'autres le soin d'aller plus loin.
D'éventuelles solutions pourraient être confrontées à la grille de Dieben dont j'ai parlé à plusieurs reprises récemment:
Alors qu'il m'a fallu au moins 6 heures pour composer la grille 8 fois 129 - 4 fois 258 donnée plus haut à partir des 30 nombres des Inventions, en utilisant intensivement l'ordi, Dieben a composé cette grille sans ordi à partir des 48 nombres du CBT 1. Il y a des gens doués, à moins que le secret lui ait été transmis par une secte bachique...
Peut-être qu'aujourd'hui l'ordi permettrait de trouver des harmonies encore plus frappantes, sinon des symétries avec la structure du CBT 1. On peut rêver.
On peut espérer aussi que les résultats sur les Inventions permettent aussi de construire des carrés qui soient plus qu'orthomagiques.
S'il est significatif que l'addition de leurs 1032 mesures aux 2088 du CBT 1 mène à 3120, le nombre 1088 de la version du Clavier Büchlein offre un écho avec 2088.
Tatlow a étrangement omis de parler du CBT 2, alors que les 2088 mesures du CBT 1 font l'objet de plusieurs tableaux (aucun n'offrant une symétrie comparable à celle 6-9-9-6 des Inventions, où à celle du couplage avec les Inventions).
L'autographe de 1742 du CBT 2 compte 3044 mesures. Il existe une copie de 1744 du gendre de Bach, Altnikol, identique sauf pour le dernier Prélude BWV 893, en h, si mineur, comptant 66 mesures selon l'autographe de Bach avec la signature rythmique 2/2, mais la notation d'Altnikol avec la signature 4/4 compte 33 mesures, leur exécution restant cependant identique note pour note.
En ce 30/11, Saint-André, je souligne donc les 3011 mesures de ce manuscrit, et la proximité avec 3012. Tatlow, ayant trouvé 3121 mesures dans le Clavir Übung 1 et 2, a scruté l'autographe et y a trouvé une raison de supprimer une mesure.
3044 ou 3011 mesures ne tiennent pas compte des reprises des Préludes. Le Prélude 10 en e, mi mineur, est particulier car la dernière mesure de la première reprise est différente lors des deux exécutions, si bien que le Prélude compte 109 mesures écrites au lieu des 108 usuellement comptées.
La copie d'Altnikol compte donc 3012 mesures écrites.
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La dédicace est basée sur le jeu
CARL OS JAIN OS = 34 34 34 34
L'importance du carré magique d'ordre 4 de constante 34 m'a conduit à composer un quatrain illustrant la forme "diabolique" de ce carré, quatrain donné le 4/4/2019 dans
Quatre quarts au carré, Carl !
où je remarquais que les 52 lectures logiques de cette constante 34 évoquaient
CARL JUNG = 34 52.
Je n'ai pas manqué d'y penser en découvrant cette combinaison des Praeambuli:
34 52 27 23 = 136
Quant à JAIN, c'est une autre histoire.
Note du 1/12: La Sinfonia 9 en fa mineur a un thème de 14 notes, découpé 3-3-8, dont les notes 2-3 et 5-6 sont 4 demi-tons consécutifs selon le motif 1-0-3-2:
Le thème est parfois tronqué aux 6 premières notes, et la mesure centrale 17 parmi les 35 de la pièce transpose ce motif en b-a-c-h (c'est la mesure 388 dans l'ordre originel des Fantasiae, voir 388 !!!):
La valeur des 14 notes du thème à la tonique est
f as g g b a b e f es des c b as = 129,
129 huitième de 1032.
Autre note du 11/2: Sans proposition immédiate de programme donnant toutes les possibilités d'organiser les 8 séries de somme 136 en 4 de somme 272, j'ai fait un essai et vite trouvé une possibilité, mais ce n'est qu'une parmi de nombreuses probables, chacune permettant 24 associations différentes Praeambulum-Fantasia.
f as g g b a b e f es des c b as = 129,
129 huitième de 1032.
Autre note du 11/2: Sans proposition immédiate de programme donnant toutes les possibilités d'organiser les 8 séries de somme 136 en 4 de somme 272, j'ai fait un essai et vite trouvé une possibilité, mais ce n'est qu'une parmi de nombreuses probables, chacune permettant 24 associations différentes Praeambulum-Fantasia.
