Bachissimo

à Brian Aldiss & Craig Holden
auteurs de romans en 21 et 38 chapitres

  Voici donc le premier mardi saint 4 avril que je vis depuis ma naissance, mais j'ai connu en tant que foetus le mardi saint 4 avril 1950.
  19 ans après ma découverte le 4/4/4 que le mardi saint 4 avril 1944 avait été une date essentielle pour Jung, le flot d'inspiration quaternitaire n'est pas tari, ainsi m'est venu hier un complément à ce que j'estimais être une de mes plus belles découvertes.

  Je voyais au premier plan de mes recherches celles sur Bach, mais le manque d'échos extérieurs m'a fait privilégier d'autres domaines, et je n'ai depuis la fermeture de mon site remis en ligne que certaines des pages Bach.
   Parmi mes découvertes bachiennes, la plus belle me semblait être celle sur les tonalités BACH dans les deux cahiers du Clavier Bien Tempéré (1722 et 1744), dit WTC. Voici les nombres de mesures, avec les rangs des pièces, les lettres du titre, et les noms des tonalités selon la notation allemande:

 
  En additionnant les nombres de mesures par tonalité, on obtient 24 nombres, parmi lesquels l'ordi trouve servilement 4 relations dorées:
- b/a, soit 283/175, (99+184)/(115+60), tonalités 22 et 20,
- h/C, soit 289/179, (123+166)/(62+117), tonalités 24 et 1,
- H/c, soit 203/125, (53+150)/(69+56), tonalités 23 et 2,
- cis/fis, soit 287/177, (154+133)/(64+113), tonalités 4 et 14.

  Trois relations concernent des tonalités BACH, et j'avais considéré comme significatif que l'autre relation fût entre les tonalités 4 et 14, car la somme des 4 lettres BACH est 14, ce qui semble avoir été utilisé par le compositeur.
  Je déplorais en 2006 qu'il manquât à l'édifice une relation entre les tonalités B (68+180=248) et A (78+62=140), alors que le partage d'or de la somme 388 est 240/148.

  Et puis le 19 avril 2010, année où Pâques tombait le 4 avril, il m'est venu que le total des tonalités BACHbach était 1642, 11^e terme de cette suite additive:
3-28-31-59-90-149-239-388-627-1015-1642-...
388 y figure, nombre correspondant aux tonalités BA, et ceci m'a permis d'arriver à ce schéma (les rapports dorés sont signifiés par les couleurs bleu/rouge) :


  De quoi rester baba...
...pendant 13 ans. Ces derniers jours, un calcul à partir d'une suite additive m'avait mené à un écho bachien, je ne sais plus comment. Toujours est-il qu'hier j'ai repris la suite additive
3-28-31-59-90-149-239-388-627-1015-1642-...
et me suis avisé assez immédiatement d'une chose que j'aurais pu voir bien plus tôt.
  Un terme d'ordre quelconque d'une suite additive quelconque, déterminée par deux termes consécutifs, est calculable en utilisant la suite de Fibonacci (1-1-2-3-5-8-13-...), ainsi 
90 = 1*31+1*59 = 1*28+2*31 = 2*3+3*28,
et 388 = 5*28+8*31 = 140+248,
soit les nombres de mesures des tonalités A et B, obtenus à partir de nombres "bachiens", c'est-à-dire de nombres formés des seuls chiffres 2-1-3-8.
  Il est encore possible d'obtenir 388 par une opération n'utilisant que des nombres bachiens:
388 = 8*3+13*28 (=24+364).

  Voilà ce que j'ai vu hier, et qui m'a fait songer à modifier la page consacrée à cette harmonie, en anglais parce que j'ai un peu perdu l'espoir d'être compris des gens qui se réclament de Descartes, un gars futé au point d'avoir disséqué vivant un chien afin de démontrer que les animaux ignorent la douleur...

  Et puis ce matin, la nuit avait opéré ses miracles, et il m'est venu comme une évidence que la seule possibilité d'obtenir une suite additive avec deux nombres de deux chiffres réunissant 2-1-3-8 et une somme ou différence "bachienne" était la suite 3-28-31-...
  Summa summarum, 388 est aussi un nombre bachien, et c'est le 8^e terme de la suite:
3₁-28₂-31₃-59₄-90₅-149₆-239₇-388₈

  Ainsi l'harmonie dorée des fugues BACH du WTC est basée sur la seule suite additive ayant pour termes d'ordres 1-2-3-8 des nombres bachiens.
  Je n'imagine pas que Bach en ait été conscient, mais ne rejette pas l'idée d'une sphère supraconsciente capable de tous les calculs, pouvant influer certains êtres...
  C'est un fait que les prodiges dont certains sont capables dépassent l'entendement, et j'ai employé supra l'expression summa summarum, "somme des sommes", car un certain Michael a composé au 16^e siècle 316 vers utilisant une gématrie particulière, chaque lettre ayant pour valeur le triangulaire de son rang n (la somme des nombres de 1 à n), la somme pour les 23 lettres de l'alphabet latin étant 2300, par exemple
Ista est summa summarum = 2300
Summa summarum ex Alphabeto = 2300
Ecce summa sacra totius Alphabeti = 2300
Ecce hoc viginti tribus literis = 2300

  Je le mentionnais sur ma page originale en français, accessible via Wayback Machine, car inclure l'autre rapport doré entre les ensembles 4/14 m'avait conduit à ce nombre 2300.

  Il me revient que j'avais précisément vu les nombres 28-31 dans la première fugue du second cahier du WTC, dans une étude antérieure, de 2005, reprise ici:

  L’alto fait entendre les notes HCAB, le nom Bach à l’envers, et il est sidérant que ce soient les notes 28 à 31 de l’alto qui égrènent ces notes HCAB. D’une part la seule possibilité de combiner les chiffres 2-1-3-8 pour obtenir deux nombres dont la différence soit 3 est 31 et 28, d’autre part la somme 28+29+30+31 donne 118, nombre de notes de l’exposition.

   Hélas je ne m'en souvenais plus lorsque j'ai étudié la suite 3-28-31, et je ne me suis plus souvenu de ce détail de l'architecture BACH dans le WTC quand j'ai repris cette étude...
  La suite 3-28-31 a pour 7^e terme 239, et il en était aussi question dans cette étude. L'argument le plus frappant en faveur de l'utilisation par Bach de la valeur 14 de son nom est L'Art de la fugue, s'achevant sur le Contrepoint 14 où Bach a pour la première fois utilisé un thème basé sur les notes BACH. Hélas il semble que la fin du Contrepoint ait été perdue, et ne nous en sont parvenues que 238 mesures, plus une dernière incomplète, ce qui a fait supposer à certains que c'était intentionnel, pour signer 238+1, BCH+A...

  Il me semble que j'oublie quelque chose à quoi j'avais pensé, mais je veux publier ce billet à 12h38, évidemment. Peut-être s'agissait-il des 59 notes de la superposition des 3 thèmes de ce Contrepoint 14, autre nombre de la suite, alors que ces thèmes avaient 7, 41, et 10 notes (c'est aussi dans l'étude).
  Et je lui trouve un titre pas très imaginatif...

PS J'ai été consulter mon courrier d'avril 2010, et vu que ma découverte avait été accompagnée de plusieurs coïncidences, certaines abordées sur les pages précitées, d'autres impliquant des faits privés.
  Les prodiges de Michael m'avaient fait essayer de faire de même avec la somme des sommes triangulaires dans notre alphabet de 26 lettres, soit 3276, un nombre qui m'avait séduit car multiple d'un de mes nombres fétiches, 273 (13 fois 21, et valeur de l'hébreu "quatre"). Voici ce que j'avais pondu, mais évidemment avec l'aide de l'ordi:

nous arriverons par prodige divinable
à la somme recherchée des sommes triangulaires,
c-à-d trois mil deux cent septante-six.
adorons-les, glorifions-les, bagduflons-les,
ces vingt-six premiers triangles ! Amen !

vérification sur le Gématron

Note du 5/4: La nuit a de nouveau opéré ses miracles, et en me réveillant il m'est venu que les tonalités
CcAaBbHh occupent les rangs
1-2-19-20-21-22-23-24 du WTC,
somme 132 pour ces 8, un calcul plus à la portée de tout un chacun, et j'avais déjà remarqué que le dernier ensemble du premier cahier, tonalité h=8, totalisait 123 mesures.
  L'ordre adopté par Bach est logique, mais il y a d'autres logiques, ainsi Chopin a choisi de faire succéder ses études dans toutes les tonalités selon les relatives et les quintes (CaEcis...)
  Il est encore possible de poursuivre la numérotation dans le second cahier, les tonalités
CcAaBbHh devenant alors
25-26-43-44-45-46-47-48, somme 324.
132 + 324 = 456, ou 12*38...